а)Воспользуемся
формулой приведения ($$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$$):
\[
\sin(\pi+x)=-\sin x.
\]
Уравнение принимает вид
\[
4^{\sin x}+4^{-\sin x}=\dfrac{5}{2}.
\]
По
свойству степени ($$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$$) получаем:
\[
4^{\sin x}+\dfrac{1}{4^{\sin x}}=\dfrac{5}{2}.
\]
Сделаем замену $t=4^{\sin x}:$
\[
t+\dfrac{1}{t}=\dfrac{5}{2}.
\]
Так как функция $y=4^u$ всюду положительна, то умножим обе части уравнения на $2t > 0:$
\[
2t^2+2=5t;
\]
\[
2t^2-5t+2=0.
\]
Решим полученное
квадратное уравнение.
Его корнями будут (С помощью дискриминанта решим уравнение
\[
2t^2-5t+2=0.
\]
Найдём дискриминант:
\[
D=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9=3^2.
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
t_1=\dfrac{5-3}{4}=\dfrac12,\\[2mm]
t_2=\dfrac{5+3}{4}=2.
\end{array}
\right.
\])\[
\left[
\begin{array}{l}
t_1=\dfrac12,\\[2mm]
t_2=2.
\end{array}
\right.
\]
Сделаем обратную замену:
\[
\left[
\begin{array}{l}
4^{\sin x}=\dfrac{1}{2},\\[2mm]
4^{\sin x}=2
\end{array}
\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
4^{\sin x}=4^{-\frac12},\\[2mm]
4^{\sin x}=4^{\frac12}.
\end{array}
\right.
\]
Функция $y=4^u$ является монотонной, поэтому
\[
\left[
\begin{array}{l}
\sin x=-\dfrac{1}{2},\\[2mm]
\sin x=\dfrac{1}{2}.
\end{array}
\right.
\]
Решая простейшие тригонометрические уравнения, получаем:
\[
\left[
\begin{array}{l}
x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\\[2mm]
x=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi k,\\[2mm]
x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\\[2mm]
x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,k\in\mathbb{Z}.
\end{array}
\right.
\]
б)Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right],$ с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.
На отрезок попали следующие корни:
\[
\dfrac{17\pi}{6},\,\dfrac{19\pi}{6},\,\dfrac{23\pi}{6}.
\]
Ответ: а) $-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\dfrac{7\pi}{6}+2\pi k,\,\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,k\in\mathbb{Z}.$ б) $\dfrac{17\pi}{6},\,\dfrac{19\pi}{6},\,\dfrac{23\pi}{6}.$
