Уравнения: а) Решите уравнение ( 1/49 )^sin(x+π) =... — задача

а)
Упростим тригонометрические выражения по формулам приведения ($\sin(\alpha+\pi)=-\sin\alpha$
$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha$):
\[ \sin(x+\pi)=-\sin x; \]
\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x. \]
Уравнение принимает вид
\[ \left(\dfrac{1}{49}\right)^{-\sin x}=7^{2\sqrt{3}\cos x}. \]
По свойствам степени (Степень с отрицательным показателем:
$$\left(\dfrac{1}{a}\right)^{-n}=a^n$$
Степень степени:
$$(a^n)^m=a^{nm}$$)
\[ \left(\dfrac{1}{49}\right)^{-\sin x}=49^{\sin x}=7^{2\sin x}, \]
поэтому
\[ 7^{2\sin x}=7^{2\sqrt{3}\cos x}. \]
Функция $y=7^t$ является монотонной, поэтому
\[ 2\sin x=2\sqrt{3}\cos x; \]
\[ \sin x=\sqrt{3}\cos x. \]
Если $\cos x=0,$ то
$$ \sin x=\sqrt{3}\cdot 0, $$
значит, $\sin x=0,$ а синус и косинус одного угла не могут одновременно равняться $0$ по основному тригонометрическому тождеству ($$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$). Значит, $\cos x\neq 0,$ и обе части уравнения можно разделить на $\cos x:$
\[ \dfrac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{3}; \]
\[ \tg x=\sqrt{3}. \]
Получаем:
\[ x=\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,k\in\mathbb{Z}. \]

б)
Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right],$ с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.



На отрезок попали следующие корни:
\[ \dfrac{10\pi}{3},\,\dfrac{13\pi}{3}. \]

Ответ: а) $\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,k\in\mathbb{Z}.$ б) $\dfrac{10\pi}{3},\,\dfrac{13\pi}{3}.$