Системы уравнений с параметром: Найдите все значения , при которых уравнение · ЕГЭ №19

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2025 (основа)

Найдите все значения

a

, при которых уравнение

a\left(x+\dfrac{4}{x}\right)^2+2\left(x+\dfrac{4}{x}\right)-25a+10=0

имеет ровно два различных корня.

Решение

Пусть

x + \dfrac{4}{x} = t

, тогда уравнение примет вид:

at^2 + 2t - 25a + 10 = 0.\quad (1)

Рассмотрим случай

a = 0

0 + 2t - 0 + 10 = 0;

t = -5;

x + \dfrac{4}{x} = -5; \quad | \cdot x \neq 0

x^2 + 5x + 4 = 0;

x_{1} = -4,\quad x_2 = -1 \text{ – два различных решения.}

Значит,

a = 0

нам подходит.

При

a \neq 0

уравнение

(1)

является квадратным, решим его:

D = 2^2 - 4a(-25a+10) = 4 + 100a^2 - 40a = (10a - 2)^2.

t_1 = \dfrac{-2 - (10a - 2)}{2a} = -5; \quad t_2 = \dfrac{-2 + 10a - 2}{2a} = \dfrac{5a - 2}{a}.

t = -3\quad\Rightarrow\quad x + \dfrac{4}{x} = -5 \text{ – это уравнение имеет два решения.}

t = \dfrac{3a-5}{a}, \quad\Rightarrow\quad \left.x + \dfrac{4}{x} = \dfrac{5a - 2}{a}; \quad\right|\cdot ax\neq 0

ax^2 - (5a - 2)x + 4a = 0.\quad (2)

Таким образом, исходное уравнение имеет два различных корня, если уравнение

(2)

совпадает с уравнением

t = -5

.
Рассмотрим оба случая:

a) Найдём дискриминант уравнения

(2)

D = (5a - 2)^2 - 4a(4a) = 25a^2 - 20a + 4 - 16a^2 = 9a^2 - 20a + 4.

Уравнение не будет иметь корней при

D < 0

9a^2 - 20a + 4 < 0;

a_{1,2} = \dfrac{20 \pm \sqrt{256}}{18}\,\quad\Rightarrow\quad a_1 = \dfrac{2}{9},\quad a_2 = 2.

\left(a - \dfrac{2}{9}\right)(a - 2) < 0;

a \in \left(\dfrac{2}{9}; 2\right).

б)

\dfrac{5a - 2}{a} = -5;

5a - 2 = -5a;

a = \dfrac{1}{5}.

Объединив все найденные значения параметра, получим

a \in \left\{ 0; \dfrac{1}{5} \right\} \cup \left(\dfrac{2}{9}; 2\right)

.

Ответ:

\left\{ 0; \dfrac{1}{5} \right\} \cup \left(\dfrac{2}{9}; 2\right)

Похожие задачи