Теория чисел: Первый член конечной геометрической... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваЕГКР 16.12.2025

Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей
из трёхзначных натуральных чисел, равен

304

. Известно, что в этой
прогрессии не меньше трёх членов.

а) Может ли число

380

являться членом такой геометрической прогрессии?

б) Может ли число

760

являться членом такой геометрической прогрессии?

в) Какое наибольшее число может являться членом такой геометрической
прогрессии?

Решение

Пусть

b_1

-- первый член прогрессии,

q

-- знаменатель прогрессии.

а) Да, если

b_1 = 304

q = \dfrac{5}{4}

, то

b_2 = 304\cdot \dfrac{5}{4} = 380,\quad b_3 = 380\cdot \dfrac{5}{4} = 475.

б) По формуле

n

-го члена геометрической прогрессии

b_n = b_1\cdot q^{n - 1}

получаем:

q^{n - 1} = \dfrac{b_n}{b_1} = \dfrac{760}{304} = \dfrac{5}{2}.

Тогда

b_2 = 304\cdot \dfrac{5}{2} = 760, \quad b_3 = 760\cdot\dfrac{5}{2} = 1900,

значит, вторым членом не может быть

760

.

Если

n\neq 2

, то

q^{n - 1}\notin \mathbb{Q}

, получаем противоречие.

в) Разложим

304

на простые множители:

304 = 19\cdot 2^4

.

Значит, последний член имеет вид

19\cdot 2^m\cdot q^{n - 1}

, где

n \geqslant 3

m \geqslant 0

.

Переберём трехзначные числа, кратные

19

:

1)

988 = 19\cdot 2^2, \quad q^{n - 1} = \dfrac{988}{304} = \dfrac{13}{4}.

Не подходит, так как

n \geqslant 3

.
2)

969 = 19\cdot 17\cdot 3.

Не подходит.
3)

950 = 19\cdot 5^2\cdot 2, \quad q^{n - 1} = \dfrac{950}{304} = \dfrac{5^2}{2^3}.

Не подходит, так как

n \geqslant 3

.
4)

931 = 19\cdot 7^2, \quad q^{n - 1} = \dfrac{931}{304} = \left(\dfrac{7}{4}\right)^2.

Значит,

b_1 = 304,\quad b_2 = 304\cdot \dfrac{7}{4} = 532,\quad b_3 = 304\cdot \left(\dfrac{7}{4}\right)^2 = 931.

Ответ: а) да; б) нет; в)

931

Похожие задачи