Теория чисел: Бесконечная геометрическая прогрессия b_1,... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваЕГКР 06.04.2023

Бесконечная геометрическая прогрессия

b_1, b_2, \ldots, b_n, \ldots

состоит из различных натуральных чисел. Пусть

S_1=b_1

S_n=b_1+b_2+\ldots+b_n

при всех

n \geqslant 2

.

a) Существует ли такая прогрессия. среди чисел

S_1, S_2, S_3, S_4

которой ровно два числа делятся на

40

?

б) Существует ли такая прогрессия, среди чисел

S_1, S_2, S_3, S_4

которой ровно три числа делятся на

40

?

в) Какое наибольшее количество чисел среди

S_1, S_2, \ldots, S_8

может делиться на

40

, если известно, что

S_1

на

40

не делится?

Решение

Пусть

q

-- знаменатель прогрессии. Тогда

S_1 = b_1

S_2 = b_1(1+q)

S_3 = b_1(1+q+q^2)

S_4 = b_1(1+q+q^2+q^3)

.

а) Да, например, если

b_1 = 1

q = 39

, то

S_1 = 1

S_2 = 40

S_3 = 1561

S_4 = 60880

, из них

S_2

S_4

делятся на 40.

б) Знаменатель прогрессии -- это натуральное число, значит:

1) Если

b_1

делится на 40, то

S_1

S_2

S_3

S_4

кратны 40.
2) Если

b_1

не делится на 40, то

S_2

S_3

S_4

должны быть кратны 40.

Заметим, что

S_4 = b_1(1+q)(q^2+1)

S_2 = b_1(1+q)

, значит, если

S_2

кратно 40, то и

S_4

будет кратно 40.

Пусть

S_3

кратно 40, тогда

S_3 - qS_2 = b_1 + b_1q + b_1q^2 - b_1q - b_1q^2 = b_1.

Но

b_1

не кратно 40, получили противоречие.

в) Заметим, что если

S_1

не кратно 40, то две соседние суммы не кратны 40. Докажем это.

S_{k+1} - qS_k = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \ldots + b_1q^k - b_1q - b_1q^2- \ldots - b_1q^k = b_1,

b_1

не кратно 40.
Значит, максимальное число сумм, делящихся на 40, равно четырём. Например:

b_1 = 1, q = 39

S_1 = 1 - \text{нечётная};

S_2 = 1 + 39 = 40 - \text{кратно 40};

S_3 = 1 + 39 + 39^2 - \text{нечётная};

S_4 = 1(1+39)(1+39^2) = 40(1+39^2) - \text{кратно 40};

S_5 = 1 + 39 + 39^2 + 39^3 + 39^4 - \text{нечётная};

S_6 = 1(1+39)(1+39^2+39^4) = 40(1+39^2+39^4) - \text{кратно 40};

S_7 = 1 + 39 + 39^2 + 39^3 + 39^4 + 39^5 + 39^6 - \text{нечётная};

S_8 = 1(1+39)(1+39^2+39^4+39^6) = 40(1+39^2+39^4+39^6) - \text{кратно 40}.

Ответ: а) да, б) нет, в) 4.

Похожие задачи