Первое решение.Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии:
$$
\sigma(Y)=\sqrt{\mathrm{D}(Y)}.
$$
Дисперсия вычисляется по формуле
$$
\mathrm{D}(Y)=\mathrm{E}(Y^2)-\bigl(\mathrm{E}(Y)\bigr)^2.
$$
Найдём
математическое ожидание случайной величины $Y:$
$$
\mathrm{E}(Y)=0\cdot0{,}5+3\cdot0{,}5=1{,}5.
$$
Возведём значения случайной величины в квадрат, а вероятности оставим прежними:
$$
Y^2\sim
\left(
\begin{array}{cc}
0^2&3^2\\[4pt]
0{,}5&0{,}5
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
0&9\\[4pt]
0{,}5&0{,}5
\end{array}
\right).
$$
Найдём
математическое ожидание $Y^2:$
$$
\mathrm{E}(Y^2)=0^2\cdot0{,}5+3^2\cdot0{,}5=4{,}5.
$$
Подставим найденные значения в формулу дисперсии:
$$
\mathrm{D}(Y)=4{,}5-(1{,}5)^2=4{,}5-2{,}25=2{,}25.
$$
Найдём стандартное отклонение:
$$
\sigma(Y)=\sqrt{2{,}25}=1{,}5.
$$
Второе решение.Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии:
$$
\sigma(Y)=\sqrt{\mathrm{D}(Y)}.
$$
Воспользуемся формулой
дисперсии$$
\mathrm{D}(Y)=\mathrm{E}\left(\bigl(Y-\mathrm{E}(Y)\bigr)^2\right).
$$
Найдём
математическое ожидание случайной величины $Y:$
$$
\mathrm{E}(Y)=0\cdot0{,}5+3\cdot0{,}5=1{,}5.
$$
Вычтем математическое ожидание из каждого значения случайной величины и возведём полученные разности в квадрат. Вероятности оставим прежними:
$$
\bigl(Y-\mathrm{E}(Y)\bigr)^2\sim
\left(
\begin{array}{cc}
(0-1{,}5)^2&(3-1{,}5)^2\\[4pt]
0{,}5&0{,}5
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
2{,}25&2{,}25\\[4pt]
0{,}5&0{,}5
\end{array}
\right).
$$
Подставим найденные значения в формулу дисперсии:
$$
\mathrm{D}(Y)=2{,}25\cdot0{,}5+2{,}25\cdot0{,}5=2{,}25.
$$
Найдём стандартное отклонение:
$$
\sigma(Y)=\sqrt{2{,}25}=1{,}5.
$$
Ответ: $1{,}5.$
