Модель идеального газа в термодинамике (уравнение Менделеева--Клапейрона + выражение для внутренней энергии) — задача ЕГЭ — Физика ЕГЭ

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по молекулярной физике и термодинамикеВариант Профиматики 2026 №9Профиматика

Сосуд с воздухом, отделенным от атмосферы поршнем, поместили в сосуд с водой и прикрепили ко дну кастрюли нитью, не дающей сосуду всплыть на поверхность. Начальная температура воздуха в сосуде и воды в кастрюле

t_1 = 18

^\circ

С. Кастрюлю помещают в холодильник. Ниже какой температуры

t_2

должна охладиться вода, чтобы сосуд опустился на дно кастрюли?

Начальный объем воздуха в сосуде

V_1 = 2

дм

^3

. Масса сосуда с поршнем

m = 2,2

кг. Сосуд и поршень изготовлены из стали, плотность которой

\rho = 7800

кг/м

^3

. Поршень может скользить без трения со стенками сосуда. Считать массу воздуха в сосуде намного меньшей, чем масса сосуда с поршнем.

Рисунок к задаче 24 варианта профиматики 2026 №9

Решение

Воздух рассматриваем как идеальный газ постоянной массы. Поршень скользит горизонтально, а до начала погружения сосуд удерживается нитью. В принятой модели изменением уровня воды и её плотности при охлаждении пренебрегаем: внешнее давление у поршня постоянно. Отсутствие трения и медленное охлаждение обеспечивают равенство давления газа внешнему давлению, поэтому до ослабления нити процесс изобарный.

Обозначим плотность воды через

\rho_{\text{в}}

, объём стали через

V_{\text{ст}}=m/\rho

, объём воздуха в момент ослабления нити через

V_2

, натяжение нити через

T_{\text{н}}

.
На полностью погружённый сосуд действуют сила тяжести

mg

вниз, сила Архимеда

F_{\text{А}}

вверх и натяжение нити вниз. По второму закону Ньютона в равновесии и закону Архимеда

\begin{gathered}F_{\text{А}}-mg-T_{\text{н}}=0,\qquadF_{\text{А}}\\=\rho_{\text{в}}g(V+V_{\text{ст}}).\end{gathered}

При охлаждении объём воздуха и сила Архимеда уменьшаются. На границе начала погружения нить перестаёт быть натянутой,

T_{\text{н}}=0

, поэтому

\begin{gathered}\rho_{\text{в}}g\left(V_2+\frac m\rho\right)=mg,\qquad V_2\\=m\left(\frac1{\rho_{\text{в}}}-\frac1\rho\right).\end{gathered}

Из уравнения состояния при постоянном давлении

V_1/T_1=V_2/T_2

, откуда

T_2=T_1\frac{m}{V_1}\left(\frac1{\rho_{\text{в}}}-\frac1\rho\right).

Подставим

T_1=18+273=291

К,

V_1=2\cdot10^{-3}

^3

\begin{gathered}T_2\\=291\cdot\frac{2{,}2}{2\cdot10^{-3}}\left(\frac1{1000}-\frac1{7800}\right)\\\approx279{,}06\ \text{К}.\end{gathered}

Следовательно, граничная температура

t_2=T_2-273\approx6{,}06\,{}^\circ\text{C}

. При дальнейшем охлаждении

F_{\text{А}}<mg

, сосуд начинает тонуть. При увеличении глубины давление воды растёт, воздух дополнительно сжимается, поэтому сила Архимеда не восстанавливает равновесие.