Параметры: Найдите все значения параметра a, при каждом... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметром100 параметров 2026Ларин

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых система

\begin{cases}x^2+(2-5a)x+4a^2-2a\le0, \\x^2+a^2=4\end{cases}

имеет хотя бы одно решение.

Решение

(1)

x^2 + (2-5a)x + 4a^2 - 2a \le 0.

Составим и решим уравнение:

x^2 + (2-5a)x + 4a^2 - 2a = 0

;

D = (2-5a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4a^2 - 2a) = 4 - 20a + 25a^2 - 16a^2 + 8a = 9a^2 - 12a + 4 = (3a-2)^2;

x_1 = \frac{-(2-5a) - (3a-2)}{2} = \frac{2a}{2} = a;

x_2 = \frac{-(2-5a) + (3a-2)}{2} = \frac{8a-4}{2} = 4a-2.

Неравенство примет вид:

(x-a)(x-(4a-2)) \le 0.

Решим его графически в системе

Oxa

, для этого построим графики границ

a = x

x = 4a - 2

a = x

-- прямая

\begin{array}{c|c|c}x & 0 & 2 \\\hlinea & 0 & 2\end{array}

;

x = 4a - 2

-- прямая

\begin{array}{c|c|c}x & 2 & 6 \\\hlinea & 1 & 2\end{array}

Прямые разбили координатную плоскость на 4 области.
Определим знак выражения

(x-a)(x-(4a-2))

в каждой из полученных областей.
Возьмём точку

(5;-5): (5+5) \cdot (5-(4 \cdot (-5)-2)) = 10 \cdot 27 > 0

, получили положительное значение, эта точка и область, в которой она лежит не удовлетворяет неравенству.

(6; 4): \quad (6-4)(6-(4 \cdot 4 - 2)) = 2 \cdot (-8) < 0 \text{ --- подходит.}

(0; 5): \quad (0-5)(0-(4 \cdot 5 - 2)) = -5 \cdot (-18) > 0 \text{ --- не подходит.}

(-5; -4): \quad (-5+4)(-5-(4 \cdot (-4) - 2)) = -1 \cdot 13 < 0 \text{ --- подходит.}

Выделим области, в которых выполняется неравенство.
Рассмотрим уравнение (2):

x^2 + a^2 = 4

--- задаёт окружность
с центром

(0;0)

и радиусом

2

.

Найдём точки пересечения окружности с прямыми:
1) с

a = x

x^2 + a^2 = 4,\\x^2 + x^2 = 4\\x^2 = 2 \\x = \pm \sqrt{2}, \ a = \pm \sqrt{2}\ \\ A(-\sqrt{2}; -\sqrt{2}), \ B(\sqrt{2}; \sqrt{2}).

2) с

x = 4a - 2

(4a - 2)^2 + a^2 = 4;

16a^2 - 16a + 4 + a^2 = 4;

17a^2 - 16a = 0;

a(17a - 16) = 0;

a = 0, \quad a = \frac{16}{17};

x = -2, \quad x = \frac{30}{17};

C(-2; 0), \quad D\left(\frac{30}{17}; \frac{16}{17}\right).

В область решений неравенства (1)
попадает не вся окружность, а только две её дуги

\overset{\smile}{AC}

\overset{\smile}{BD}

.

Запустим горизонтальную считывающую прямую
и найдём, при каких значениях

a

она имеет
хотя бы одну общую точку с дугами

\overset{\smile}{AC}

\overset{\smile}{BD}

,
при этих же значениях параметра будет иметь
решения и система.

Координаты точек

A, B, C, D

нам уже известны, поэтому
запишем ответ:

a \in [-\sqrt{2}; 0] \cup \left[\dfrac{16}{17}; \sqrt{2}\right]

.

Ответ:

a \in [-\sqrt{2}; 0] \cup \left[\dfrac{16}{17}; \sqrt{2}\right]

Похожие задачи