Модель идеального газа в термодинамике (уравнение Менделеева-Клапейрона + выражение для внутренней энергии) — задача ЕГЭ — Физика ЕГЭ

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по молекулярной физике и термодинамикеЕГЭ прошлых летПрофиматика

Рисунок к задаче 14 тематической подборки Физики ЕГЭ

В горизонтальном цилиндре с гладкими стенками под массивным поршнем с площадью

S

находится одноатомный идеальный газ. Поршень соединён с основанием цилиндра пружиной. В начальном состоянии расстояние между поршнем и основанием цилиндра равно

L

, а давление газа в цилиндре равно внешнему атмосферному давлению

p_0

(см. рисунок). Затем газу было передано количество теплоты

Q

, и в результате поршень медленно переместился вправо на расстояние

b

. Чему равна жёсткость пружины

k

Решение

В начальном состоянии давления с двух сторон поршня одинаковы, поэтому пружина
не деформирована. После перемещения поршня на расстояние

b

пружина растянута
на

b

, и модуль силы упругости равен

kb

. В конечном состоянии поршень
движется очень медленно, поэтому силы, действующие на него, уравновешены:

p_2S=p_0S+kb.

Следовательно, конечное давление и объёмы газа равны

\begin{gathered}p_2=p_0+\frac{kb}{S},\qquadV_1\\=SL,\qquadV_2=S(L+b).\end{gathered}

Изменение внутренней энергии одноатомного газа:

\begin{gathered}\Delta U=\frac32(p_2V_2-p_0V_1)\\=\frac32\bigl[p_0Sb+kb(L+b)\bigr].\end{gathered}

При перемещении поршня газ совершает работу против сил атмосферного давления и
упругости пружины. Работа против атмосферного давления равна

A_{\text{атм}}=p_0\Delta V=p_0Sb.

Сила упругости возрастает от нуля до

kb

. Поэтому её среднее значение равно

kb/2

, а работа по растяжению пружины равна

A_{\text{пруж}}=\frac{0+kb}{2}\,b=\frac{kb^2}{2}.

Следовательно, полная работа газа

A=A_{\text{атм}}+A_{\text{пруж}}=p_0Sb+\frac{kb^2}{2}.

По первому закону термодинамики

\begin{gathered}Q=\Delta U+A\\=\frac52p_0Sb+\frac32kbL+2kb^2.\end{gathered}

Решая это уравнение относительно

k

, получаем

\boxed{k=\frac{2Q-5p_0Sb}{b(3L+4b)}}.

Модель идеального газа в термодинамике (уравнение Менделеева-Клапейрона + выражение для внутренней энергии) — задача ЕГЭ — Физика ЕГЭ

Похожие задачи