Термодинамика: С одним моль идеального одноатомного газа... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по молекулярной физике и термодинамикеВариант профиматики 2026 №4Профиматика

С одним моль идеального одноатомного газа совершают циклический процесс 1-2-3-4-1 (см. рис.). Во сколько раз $n$ КПД данного цикла меньше, чем КПД идеальной тепловой машины, работающей при тех же максимальной и минимальной температурах?

Рисунок к задаче 24 варианта профиматики 2026 №4

Решение

Выполним краткий анализ цикла.

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа

{U=\cfrac{3}{2}pV}

пропорциональна произведению

pV

. Ориентируясь на характер изменения этого произведения, определим знаки изменения внутренней энергии газа на всех участках цикла:

\Delta U_{12}>0;\ \Delta U_{23}>0;\ \Delta U_{34}<0;\ \Delta U_{41}<0.

Работа газа больше нуля при расширении и меньше нуля при сжатии, а модуль работы численно равен площади под графиком данного процесса в координатах

pV

. Опираясь на это, определим знаки работы газа на всех участках цикла:

A_{12}>0;\ A_{23}>0;\ A_{34}<0;\ A_{41}<0.

Таким образом, согласно первому началу термодинамики

{Q=\Delta U+A}

, газ однозначно получает количество теплоты на участках 1-2 и 2-3, и отдаёт количество теплоты на участках 3-4 и 4-1.
Вычислим работу, изменение внутренней энергии и подводимое количество теплоты на участке 1-2:

\begin{gathered}A_{12}=\cfrac{p_1+p_2}{2}\cdot(V_2-V_1)\\=9p_0V_0\end{gathered}

\begin{gathered}\Delta U_{12}=\cfrac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)\\=\cfrac{3}{2}(p_2V_2-p_1V_1)=\cfrac{57}{2}p_0V_0\end{gathered}

Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}=\cfrac{75}{2}p_0V_0

Вычислим работу, изменение внутренней энергии и подводимое количество теплоты на участке 2-3:

A_{23}=p_2\cdot(V_3-V_2)=5p_0V_0

\begin{gathered}\Delta U_{23}=\cfrac{3}{2}\nu R(T_3-T_2)\\=\cfrac{3}{2}p_2(V_3-V_2)=\cfrac{15}{2}p_0V_0\end{gathered}

Q_{23}=\Delta U_{23}+A_{23}=\cfrac{25}{2}p_0V_0

Количество теплоты от нагревателя в итоге равно:

Q_\text{н}=Q_{12}+Q_{23}=50p_0V_0

Работа в цикле равна площади внутри цикла (в данном случае, площади параллелограмма):

\begin{gathered}A=(p_4-p_1)\cdot(V_2-V_1)\\=4p_0V_0\end{gathered}

Итак, КПД цикла равен:

\eta=\cfrac{A}{Q_\text{н}}=0,08

Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона

{pV=\nu RT}

, температура газа прямо пропорциональна произведению

pV

. Тогда максимальная температура в цикле достигается в состоянии 3, а минимальная — в состоянии 1. Их отношение равно:

\cfrac{T_3}{T_1}=\cfrac{p_3V_3}{p_1V_1}=\cfrac{25p_0V_0}{p_0V_0}=25

КПД цикла Карно при тех же максимальной и минимальной температурах равен:

\begin{gathered}\eta_\text{К}=1-\cfrac{T_\text{x}}{T_\text{н}}=1-\cfrac{T_1}{T_3}=1-\cfrac{1}{25}\\=0,96\end{gathered}

В конечном итоге искомое отношение КПД равно:

n=\cfrac{\eta_\text{К}}{\eta}=\cfrac{0,96}{0,08}=12

Термодинамика: С одним моль идеального одноатомного газа... — задача

Похожие задачи