Термодинамика: На рисунке в координатах p-V представлен... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по молекулярной физике и термодинамикеЕГЭ прошлых летПрофиматика

На рисунке в координатах $p-V$ представлен циклический процесс, проводимый с идеальным одноатомным газом. Давление идеального одноатомного газа изохорно увеличивают в 4 раза, затем объём газа увеличивают в 2,5 раза так, что давление линейно зависит от объёма и возрастает в 2 раза. После этого газ возвращают в исходное состояние в процессе, в котором давление линейно зависит от объёма. Масса газа постоянна. Определите коэффициент полезного действия теплового двигателя, работающего по этому циклу.

Решение

Запишем давление и объём во всех состояниях согласно условию:

p_2=4p_1;\ V_2=V_1

\begin{gathered}p_3=2p_2=8p_1;\ V_3=2,5V_2\\=2,5V_1\end{gathered}

Обозначим температуру в состоянии 1 как

T_1

. Она связана с другими параметрами газа через уравнение Менделеева — Клапейрона:

p_1V_1=\nu RT_1

. Выразим через

T_1

температуру в остальных состояниях:

T_2=\cfrac{p_2V_2}{\nu R}=\cfrac{4p_1V_1}{\nu R}=4T_1

T_3=\cfrac{p_3V_3}{\nu R}=\cfrac{20p_1V_1}{\nu R}=20T_1

Для определения КПД необходимо рассчитать работу газа

A

за цикл и количество теплоты, подведённое к газу

Q_\text{н}

. Рассмотрим процессы поочерёдно, используя полученные соотношения параметров.

В изохорном процессе

\text{1--2}

газ не совершает работу. Количество теплоты можно найти по первому началу термодинамики:

\begin{gathered}Q_{12}=\Delta U_{12}=\cfrac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)\\=\cfrac{9}{2}\nu RT_1>0\end{gathered}

График процесса

\text{2--3}

— наклонный отрезок, поэтому найти работу можно по площади трапеции под ним:

\begin{gathered}A_{23}=\cfrac{p_2+p_3}{2}\cdot(V_3-V_2)\\=9p_1V_1=9\nu RT_1\end{gathered}

Изменение внутренней энергии в процессе

\text{2--3}

равно:

\Delta U_{23}=\cfrac{3}{2}\nu R(T_3-T_2)=24\nu RT_1

И найдём количество теплоты в соответствии с первым началом термодинамики:

\begin{gathered}Q_{23}=\Delta U_{23}+A_{23}\\=33\nu RT_1>0\end{gathered}

График процесса

\text{3--1}

— так же наклонный отрезок, поэтому найти работу можно по площади трапеции под ним:

\begin{gathered}A_{31}=\cfrac{p_3+p_1}{2}\cdot(V_1-V_3)\\=-\cfrac{27}{4}p_1V_1=-\cfrac{27}{4}\nu RT_1\end{gathered}

Также

T_1<T_3

, поэтому

\Delta U_{31}<0

. А значит, в соответствии с первым началом термодинамики,

Q_{31}=\Delta U_{31}+A_{31}<0

, то есть газ отдаёт количество теплоты.

Подставим полученные выражения в формулу для КПД:

\begin{gathered}\eta=\cfrac{A}{Q_\text{н}}=\cfrac{A_{23}+A_{31}}{Q_{12}+Q_{23}}\\=\cfrac{9\nu RT_1-\cfrac{27}{4}\nu RT_1}{\cfrac{9}{2}\nu RT_1+33\nu RT_1}\end{gathered}

Упростим выражение и получим:

\eta=\cfrac{9}{150}=0,06

Термодинамика: На рисунке в координатах p-V представлен... — задача

Похожие задачи