Тригонометрия и логарифмы — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

УравненияЕГЭ 2023 (досрок)

а) Решите уравнение

\log_3\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+\sin2x+81\right)=4.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]

Решение

а) По определению логарифма:

\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+\sin2x+81 = 3^4.

Заметим, что ограничение

\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+\sin2x+81 > 0

выполняется при всех

x

, которые удовлетворяют уравнению, так как

3^4=81 >0

для всех

x

.
Преобразуем уравнение

\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+\sin2x+81 = 81;

\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+\sin2x= 0.

Упростим тригонометрические выражения с помощью формулы приведения и формулы синуса двойного угла:

\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) = \sin x;

\sin 2x = 2\sin x \cos x.

Тогда уравнение принимает следующий вид:

\sin x + 2\sin x \cos x =0;

\sin x (1 + 2\cos x) =0.

Получаем

\left[\begin{gathered} \sin x =0, \ \\ \cos x = -\dfrac{1}{2}.\end{gathered}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{gathered} x = \pi k, \ \\ x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.\end{gathered}\right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[-\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

На отрезок попали следующие корни:

-\dfrac{10\pi}{3}, \ -3\pi, \ -\dfrac{8\pi}{3}, \ -2\pi.

Ответ: а)

\pi k, \ \pm \dfrac{2\pi}{3}+ 2\pi k, k \in \mathbb{Z};

б)

-\dfrac{10\pi}{3}, \ -3\pi, \ -\dfrac{8\pi}{3}, \ -2\pi

Тригонометрия и логарифмыа) Решите уравнение $\frac{\log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x)}{2\cos x + \sqrt{3}} = 0.$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку…

Тригонометрия и логарифмы — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи