б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−27π;−2π].
Решение
а) По определению логарифма:
cos(2π−x)+sin2x+81=34. Заметим, что ограничение cos(2π−x)+sin2x+81>0 выполняется при всех x, которые удовлетворяют уравнению, так как 34=81>0 для всех x. Преобразуем уравнение
cos(2π−x)+sin2x+81=81; cos(2π−x)+sin2x=0. Упростим тригонометрические выражения с помощью формулы приведения и формулы синуса двойного угла:
cos(2π−x)=sinx;sin2x=2sinxcosx. Тогда уравнение принимает следующий вид:
sinx+2sinxcosx=0;sinx(1+2cosx)=0. Получаем
sinx=0,cosx=−21.⇔x=πk,x=±32π+2πk,k∈Z. б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [−27π;−2π], с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.
На отрезок попали следующие корни:
−310π,−3π,−38π,−2π. Ответ: а) πk,±32π+2πk,k∈Z; б) −310π,−3π,−38π,−2π.
