а) Решите уравнение (log₂²(sin x) + log₂(sin… — Уравнения — ЕГЭ

Уравнения

ФИПИ

а) Решите уравнение

\frac{\log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x)}{2\cos x + \sqrt{3}} = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[0; \dfrac{3\pi}{2}\right]

Решение

а) Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Найдём нули числителя:

\log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x) = 0;

\log_2(\sin x)\cdot(\log_2(\sin x) + 1) = 0.

Получаем:

\left[ \begin{array}{l} \log_2(\sin x) = 0,\\ \log_2(\sin x) = -1. \end{array} \right. \Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} \log_2(\sin x) = \log_{2}{1},\\[2mm] \log_2(\sin x) = \log_{2}{\dfrac{1}{2}}. \end{array} \right. \Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} \sin x = 1,\\[2mm] \sin x = \dfrac{1}{2}. \end{array} \right. \Leftrightarrow\;

\Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k,\\[3mm] x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\\[3mm] x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}. \end{array} \right.

Заметим, что все полученные решения удовлетворяют условию

\sin x > 0

.

Найдём значения

x

, при которых знаменатель существует:

2\cos x + \sqrt{3} \neq 0;

\cos x \neq -\frac{\sqrt{3}}{2};

x \neq \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}.

Исключая серию

x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k

, получаем следующие корни:

x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[0; \dfrac{3\pi}{2}\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

$Изображение 1$

На отрезок попали следующие корни:

\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{2}.

Ответ: а)

\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k,\ \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

; б)

\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{2}