Пружинный маятник — задача ЕГЭ — Физика ЕГЭ

Условие, ответ и разбор задачи

Механика: анализ утвержденийЕГЭ прошлых летПрофиматика

На рисунке приведены зависимости координат

x

двух грузов 1 и 2 от времени

t

в процессе их малых колебаний на гладкой горизонтальной плоскости. Грузы имеют одинаковую массу

m

и прикреплены к пружинам жёсткостью

k_1

(груз 1) и жёсткостью

k_2

(груз 2). Колебания груза 1 обозначены сплошной линией, груза 2 – пунктиром. Выберите все верные утверждения о движении грузов.

1. Периоды колебаний грузов одинаковы.

2. Максимальные потенциальные энергии деформированных пружин одинаковы.

3. Жёсткость пружины

k_1

меньше жёсткости пружины

k_2

.

4. Амплитуды колебаний грузов одинаковы.

5. Максимальная кинетическая энергия груза 1 в четыре раза больше, чем максимальная кинетическая энергия груза 2.

Ответ:

Решение

1. Верно. Период первого груза равен

T_1=4

с, период второго груза равен

T_2=4

c. Следовательно, периоды грузов равны.

2. Неверно. Сравним жесткости

k_1

k_2

пружин. Период колебаний пружинного маятника можно вычислить по формуле:

T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}.

Выразим отсюда жесткость:

k=\frac{4\pi^2m}{T^2}.

Периоды грузов равные (см. пункт 1), грузы имеют одинаковую массу (по условию), поэтому жесткости пружин тоже одинаковые (

k_1=k_2

).

Потенциальная энергия деформированной пружины рассчитывается по формуле

E_p=\frac{kx^2}{2},

где

x

— величина деформации пружины.

Как видно по графикам, максимальная деформация (амлитуда) первой пружины

x_1=2

см, второй пружины

x_2=1

см. Поэтому максимальная потенциальная энергия деформированной пружины больше для первой пружины.

3. Неверно. Жесткости пружин равны (см. пункт 2).

4. Неверно. Амлитуды колебаний грузов разные (см. пункт 2).

5. Верно. Найдем, во сколько раз различаются максимальные значения потенциальных энергии c учетом

k_1=k_2

\begin{gathered}\frac{E_1}{E_2}=\frac{k_1x_1^2}{2}:\frac{k_2x_2^2}{2}=\frac{2k_1x_1^2}{2k_2x_2^2}\\=\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2.\end{gathered}

Как было найдена в пункте 2 амплитуды колебаний равны

x_1=2

см и

x_2=1

см. Получаем, что

\frac{E_1}{E_2}=\left(\frac{2\text{ см}}{1\text{ см}}\right)^2=4,

то есть потенциальная энергия первой пружины в 4 раза больше.

По закону сохранения механической энергии, максимальная потенциальная энергия пружины равна максимальной кинетической энергии груза. Следовательно, кинетическая энергия груза 1 тоже в 4 раза больше.

Пружинный маятник — задача ЕГЭ — Физика ЕГЭ

Похожие задачи