Модель идеального газа в термодинамике (уравнение Менделеева-Клапейрона + выражение для внутренней энергии) — задача ЕГЭ — Физика ЕГЭ

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по молекулярной физике и термодинамикеВариант профиматики 2026 №1Профиматика

Теплоизолированный цилиндр, расположенный горизонтально, разделён подвижным теплопроводящим поршнем на две части. В одной части цилиндра находится гелий, а в другой аргон. В начальный момент температура гелия равна 600 К, а аргона

-

900 К, объемы, занимаемые газами, одинаковы, а поршень находится в равновесии. Во сколько раз изменится объём, занимаемый гелием, после установления теплового равновесия, если поршень перемещается без трения? Теплоёмкостью цилиндра и поршня пренебречь.

Решение

1. Анализ начального состояния газов

Гелий (

\text{He}

) и аргон (

\text{Ar}

) являются одноатомными идеальными газами.

В начальный момент времени оба газа занимают одинаковые объёмы

V_{10} = V_{20} = V_0

, а поршень находится в равновесии, что означает равенство начальных давлений:

p_{10} = p_{20} = p_0

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для каждого из газов в начальном состоянии:

p_0 V_0 = \nu_1 R T_{10} \implies \nu_1 = \frac{p_0 V_0}{R T_{10}}

p_0 V_0 = \nu_2 R T_{20} \implies \nu_2 = \frac{p_0 V_0}{R T_{20}}

Найдем отношение количества вещества гелия

\nu_1

к количеству вещества аргона

\nu_2

\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{\frac{p_0 V_0}{R T_{10}}}{\frac{p_0 V_0}{R T_{20}}} = \frac{T_{20}}{T_{10}}

2. Анализ конечного состояния

После установления теплового и механического равновесия:

• Так как поршень является теплопроводящим, температуры газов сравняются:

T_1 = T_2 = T

.

• Так как поршень подвижен и перемещается без трения, давления газов по обе стороны поршня будут равны:

p_1 = p_2 = p

.

• Так как цилиндр замкнут, суммарный объём системы остаётся неизменным:

V_1 + V_2 = V_{10} + V_{20} = 2V_0

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для газов в конечном состоянии:

p V_1 = \nu_1 R T

p V_2 = \nu_2 R T

Разделим первое уравнение на второе:

\frac{p V_1}{p V_2} = \frac{\nu_1 R T}{\nu_2 R T} \implies \frac{V_1}{V_2} = \frac{\nu_1}{\nu_2}

3. Определение изменения объёма гелия

Подставим выражение для отношения количеств вещества (3) в соотношение объёмов (8):

\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_{20}}{T_{10}} \implies V_2 = V_1 \cdot \frac{T_{10}}{T_{20}}

Подставим полученное выражение для

V_2

в уравнение сохранения общего объёма (4):

\begin{gathered}V_1 + V_1 \cdot \frac{T_{10}}{T_{20}} = 2V_0 \\\implies V_1 \left(1 + \frac{T_{10}}{T_{20}}\right) = 2V_0\end{gathered}

Выразим конечный объём гелия

V_1

V_1 = \frac{2V_0}{1 + \frac{T_{10}}{T_{20}}} = \frac{2 V_0 \cdot T_{20}}{T_{10} + T_{20}}

Отношение конечного объёма гелия к начальному

V_{10} = V_0

\frac{V_1}{V_{10}} = \frac{2 T_{20}}{T_{10} + T_{20}}

4. Закон сохранения энергии и расчет (обоснование)

Поскольку цилиндр теплоизолирован (

Q = 0

) и вся система не совершает работы во внешнюю среду (

A = 0

), по первому закону термодинамики полная внутренняя энергия двух газов сохраняется:

\begin{gathered}U_1 + U_2 = U_1' + U_2' \\\implies \frac{3}{2}\nu_1 R T_{10} + \frac{3}{2}\nu_2 R T_{20} \\= \frac{3}{2}(\nu_1 + \nu_2) R T\end{gathered}

Отсюда устанавливается конечная температура

T = \dfrac{2 T_{10} T_{20}}{T_{10} + T_{20}} = 720\text{ К}

, при этом

p = p_0

.

Подставим числовые значения в итоговую формулу для отношения объёмов (12):

\frac{V_1}{V_0} = \frac{2 \cdot 900}{600 + 900} = \frac{1800}{1500} = 1{,}2

Модель идеального газа в термодинамике (уравнение Менделеева-Клапейрона + выражение для внутренней энергии) — задача ЕГЭ — Физика ЕГЭ

Похожие задачи