Термодинамика: В тепловом двигателе 1 моль одноатомного... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по молекулярной физике и термодинамикеЕГЭ прошлых летПрофиматика

В тепловом двигателе 1 моль одноатомного разреженного газа совершает цикл $\text{1--2--3--4--1}$ , показанный на графике в координатах $p-T$ , где $p$ — давление газа, $T$ — абсолютная температура. Температуры в точках 2 и 4 равны и превышают температуру в точке 1 в 2 раза. Определите КПД цикла.

Решение

Выполним краткий анализ цикла. На участках цикла

\text{1--2}

\text{3--4}

давление газа прямо пропорционально температуре. Следовательно, данные участки соответствуют процессам изохорного нагревания и изохорного охлаждения соответственно. Участки

\text{2--3}

\text{4--1}

, как следует из графика, соответствуют изобарному нагреванию и изобарному охлаждению соответственно.

Найдём неизвестную температуру

T_3

. Сначала, используя соотношения температур из условия, запишем закон Шарля для процесса

\text{1--2}

\cfrac{p_1}{p_2}=\cfrac{T_1}{T_2}\Rightarrow p_2=p_1\cdot\cfrac{T_2}{T_1}=2p_1

Затем, закон Гей — Люссака для процесса

\text{4--1}

\cfrac{V_4}{V_1}=\cfrac{T_4}{T_1}\Rightarrow V_4=V_1\cdot\cfrac{T_2}{T_1}=2V_1

В точке 3 давление

p_3=p_2=2p_1

, а объём

V_3=V_4=2V_1

. Используя уравнение Менделеева — Клапейрона

pV=\nu RT

, получим:

T_3=\cfrac{p_3V_3}{\nu R}=\cfrac{4p_1V_1}{\nu R}=4T_1

Для определения КПД необходимо рассчитать работу газа

A

за цикл и количество теплоты, подведённое к газу

Q_\text{н}

. Для этого рассмотрим процессы поочерёдно.

При изохорном нагревании

\text{1--2}

газ не совершает работу, а количество теплоты можно найти по первому началу термодинамики:

\begin{gathered}Q_{12}=\Delta U_{12}=\cfrac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)\\=\cfrac{3}{2}\nu RT_1>0\end{gathered}

С учётом уравнения Менделеева — Клапейрона, работа в изобарном процессе

\text{2--3}

равна:

\begin{gathered}A_{23}=p_2(V_3-V_2)\\=\nu R(T_3-T_2)=2\nu RT_1\end{gathered}

Изменение внутренней энергии при этом:

\Delta U_{23}=\cfrac{3}{2}\nu R(T_3-T_2)=3\nu RT_1

А количество теплоты, в соответствии с первым началом термодинамики:

Q_{23}=A_{23}+\Delta U_{23}=5\nu RT_1>0

При изохорном охлаждении

\text{3--4}

газ не совершает работу, а изменение внутренней энергии отрицательно. Поэтому, в соответствии с первым началом термодинамики

Q_{34}=\Delta U_{34}

, газ отдаёт окружающей среде количество теплоты.

При изобарном охлаждении

\text{4--1}

происходит сжатие. Работа газа в процессе равна:

\begin{gathered}A_{41}=p_1(V_1-V_4)\\=\nu R(T_1-T_4)=-\nu RT_1<0\end{gathered}

Изменение внутренней энергии также отрицательно. Значит, в соответствии с первым началом термодинамики

Q_{41}=\Delta U_{41}+A_{41}

, газ отдаёт окружающей среде количество теплоты.

Подставим полученные выражения в формулу для КПД:

\begin{gathered}\eta=\cfrac{A}{Q_\text{н}}=\cfrac{A_{23}+A_{41}}{Q_{12}+Q_{23}}\\=\cfrac{2\nu RT_1-\nu RT_1}{\cfrac{3}{2}\nu RT_1+5\nu RT_1}\end{gathered}

Упрощая выражение, получим:

\eta=\cfrac{2}{13}\approx0,15

Термодинамика: В тепловом двигателе 1 моль одноатомного... — задача

Похожие задачи