Параметры: Найдите все значения параметра a, при каждом... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметром100 параметров 2026ЕГЭ 2023 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases} (x^2-6x+2-y)\sqrt{x-y+2}=0, \\ y=ax+a \end{cases}

имеет ровно два различных решения.

Решение

Решим задачу графически в системе

Oxy

.
Рассмотрим первое уравнение

(x^2-6x+2-y)\sqrt{x-y+2}=0

x-y+2=0 \ (1) \ \text{или}\begin{cases}x^2 - 6x + 2 - y = 0, & (2) \\x - y + 2 \geqslant 0. & (3)\end{cases}

(1)

y = x + 2

задаёт прямую с угловым коэффициентом 1.
(2)

y = x^2 - 6x + 2

задаёт параболу с вершиной

(3; -7)

.
(3)

y \leqslant x + 2

задаёт полуплоскость под прямой

y = x + 2,

включающую саму прямую.

Найдём точки пересечения графиков

y = x^2 - 6x + 2

y = x + 2

x^2 - 6x + 2 = x + 2;

x^2 - 7x = 0;

x = 0, \quad x = 7;

y = 2, \quad y = 9;

A(0; 2), \quad B(7; 9).

График первого уравнения системы состоит из прямой

y=x+2

и части параболы, расположенной ниже этой прямой.
Второе уравнение системы

y = ax + a

y = a(x+1)

задаёт прямую, проходящую через точку

(-1; 0)

, с угловым коэффициентом

a

.

При увеличении

a

прямая поворачивается
вокруг точки

(-1; 0)

против часовой стрелки.
Найдём при каких

a

прямая

y = ax + a

касается параболы:

ax + a = x^2 - 6x + 2;

x^2 - (6+a)x + 2 - a = 0.

В точке касания

D=0

D = (6+a)^2 - 4(2-a) = a^2 + 12a + 36 - 8 + 4a = a^2 + 16a + 28;

a^2 + 16a + 28 = 0;

a = -14 \qquad a = -2.

Чтобы понять, какое из найденных

a

нам подходит, найдём абсциссу
точки касания -- это корень квадратного уравнения

x^2 - (6+a)x + 2 - a = 0 \ \text{при }a = a_{\text{кас}}.

a = -14

x = \dfrac{6+a+0}{2} = \dfrac{6+a}{2} = \dfrac{6-14}{2} = -4

x = -4

лежит на параболе левее точки

A

, значит, не подходит.

2)

a = -2

x = \dfrac{6+a}{2} = \dfrac{6-2}{2} = 2

-- лежит на параболе
между точками

A

B

.
Значит, нужное нам касание при

a = -2

.

Рассмотрим различные положения прямой

y=ax+a

и соответствующие им количества решений:

I) прямая касается параболы,

a=-2

— 2 решения;
II) прямая параллельна прямой

y=x+2

a=1

— 2 решения;
III) прямая проходит через точку

B (7; 9)

9 = a \cdot 7 + a, \ a = \dfrac{9}{8}

— 2 решения;
IV) прямая проходит через точку

A (0; 2)

2 = a \cdot 0 + a, a = 2

— 1 решение.

При

a < -2

(до положения (I)) — 1 решение;
при

a \in (-2; 1)

(между (I) и (II)) — 3 решения;
при

a \in \left (1; \dfrac{9}{8} \right)

(между (II) и (III)) — 3 решения;
при

a \in \left (\dfrac{9}{8}; 2 \right)

(между (III) и (IV)) — 2 решения;

при

a > 2

(после (IV)) — 1 решение.

Следовательно, система имеет ровно 2 решения
при

a \in \{-2; 1\} \cup \left[ \dfrac{9}{8}; 2 \right)

.
Ответ:

a \in \{-2; 1\} \cup \left[\dfrac{9}{8}; 2 \right)

Похожие задачи