Свойства и базовые приёмы вычисления пределов функций
Содержание
Неопределённость \(\dfrac{\infty}{\infty}\): отношение многочленов
Неопределённость \(\dfrac00\): многочлены
Неопределённость \(\dfrac00\): корни и сопряжённое
Неопределённость \(\infty-\infty\)
Для чтения достаточно уметь раскрывать скобки, раскладывать квадратный трёхчлен на множители, работать с дробями и помнить формулу
Если какой-то из этих школьных приёмов забылся, это не повод останавливаться: в ключевых примерах нужное разложение или преобразование будет выписано явно. Если строгие формальные определения предела пока непривычны, это тоже не помешает вычислительной части: нужный смысл мы будем проговаривать прямо на месте.
По ходу статьи встречаются два вида практики. В блоках «Пример» метод разобран полностью. Блоки «Задача» предназначены для самостоятельной работы; ответы к ним собраны в конце вместе с ответами к разделу «Проверьте себя».
С чего начинать вычисление предела
Пусть требуется найти
Эта запись читается так: «предел функции \(F(x)\) при \(x\), стремящемся к \(a\)». Если
то значения \(F(x)\) можно сделать сколь угодно близкими к числу \(L\), выбирая \(x\) достаточно близко к \(a\). При этом само значение \(F(a)\) может оказаться другим или вообще не существовать: предел описывает прежде всего поведение функции рядом с точкой.
Первый полезный вопрос очень простой: что получится, если вместо \(x\) поставить \(a\)?
Подстановка здесь — диагностический шаг, а не универсальная теорема: сначала она помогает понять, с какой ситуацией мы столкнулись. Равенство \(F(a)=c\) само по себе ещё не означает, что \(\lim_{x\to a}F(x)=c\). Закончить вычисление подстановкой можно, когда известно, что функция непрерывна в точке \(a\) и все используемые операции там допустимы. Например, многочлены непрерывны всюду, а рациональная функция — то есть дробь из многочленов, например \(\dfrac{x^2+1}{x-3}\), — непрерывна в каждой точке, где её знаменатель не равен нулю.
Напомним смысл слова «непрерывна»: функция \(F\) непрерывна в точке \(a\), если она определена в этой точке и \(\lim_{x\to a}F(x)=F(a)\). Именно это равенство превращает подстановку из догадки в законный способ вычисления предела.
Есть ещё одна важная особенность предела в конечной точке. При \(x\to a\) нас интересуют значения \(x\), сколь угодно близкие к \(a\), но отличные от неё. В строгом определении рассматривается условие
Здесь \(\delta>0\) — некоторое маленькое расстояние по оси \(x\): неравенство \(|x-a|<\delta\) означает «\(x\) находится ближе чем на \(\delta\) к \(a\)», а условие \(0<|x-a|\) отдельно исключает саму точку \(x=a\). Такой набор близких точек без самой точки \(a\) называют проколотой окрестностью \(a\). Поэтому значение самой функции в точке \(a\) может не существовать или быть специально изменено, а предел при этом сохранится. Именно это позже позволит сокращать множитель \(x-a\).
Арифметические свойства пределов
Пусть существуют конечные пределы
Тогда пределы можно сочетать почти так же, как обычные числа, но у каждого правила есть свои условия.
В формулах ниже \(\mathbb R\) обозначает множество действительных чисел, а запись \(c\in\mathbb R\) означает, что \(c\) — обычное постоянное действительное число, не зависящее от \(x\).
Почему для дроби отдельно написано \(B\neq0\)? Если знаменатель стремится к ненулевому числу, то достаточно близко к \(x_0\) он остаётся отделённым от нуля, и деление безопасно. Если же \(B=0\), правило частного ничего не говорит: дробь может стремиться к числу, к бесконечности или вообще не иметь предела.
Операция | Чт о нужно проверить |
|---|---|
Сумма и разность | Оба исходных конечных предела существуют. |
Произведение | Оба исходных конечных предела существуют. |
Частное | Оба предела существуют, и предел знаменателя не равен нулю. |
Натуральная степень | Предел основания существует и конечен. |
Для корней действует привычный принцип непрерывности. Например, если \(u(x)\to U\), квадратный корень определён для всех рассматриваемых \(x\) и \(U\geq0\), то
Для корня нечётной степени ограничение \(U\geq0\) не требуется.
Теорема о зажатой функции
Иногда функцию трудно преобразовать напрямую, но её удаётся зажать между двумя более простыми функциями. Если обе границы стремятся к одному и тому же числу, середине «деваться некуда».
Обратите внимание на два условия. Неравенство должно работать не в одной удачной точке, а во всей достаточно малой проколотой окрестности \(x_0\). Кроме того, обе зажимающие функции должны иметь один и тот же предел.
Неопределённость — это не ответ
При вычислении предела первая диагностическая проверка часто приводит к символической форме, для которой обычной арифметики недостаточно. В этой статье нам особенно важны
Квадратные скобки здесь подчёркивают: это тип неопределённости, а не значение предела.
Форма | Пример при \(x\to+\infty\) или \(x\to0\) | Итог |
|---|---|---|
\(\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]\) | \(\dfrac{x}{x^2}\), \(\dfrac{x}{x}\), \(\dfrac{x^2}{x}\) | \(0,\ 1,\ +\infty\) |
\(\left[\dfrac00\right]\) | \(\dfrac{x^2}{x}\), \(\dfrac{x}{x}\), \(\dfrac{x}{x^2}\) при \(x\to0\) | \(0,\ 1,\) двустороннего предела нет |
\([\infty-\infty]\) | \(x-x\), \((x+1)-x\), \(2x-x\) | \(0,\ 1,\ +\infty\) |
Поэтому фраза «получили \(\dfrac00\)» должна означать не конец решения, а выбор следующего шага. Для многочленов этим шагом обычно будет разложение на множители, для радикалов — сопряжённое выражение, а для отношения многочленов на бесконечности — выделение старших степеней.
Неопределённость \(\dfrac{\infty}{\infty}\): отношение многочленов
Пусть
где \(P\) и \(Q\) — многочлены. На бесконечности главным становится поведение старших степеней.
Степень многочлена — это наибольшая степень \(x\), которая в нём встречается с ненулевым коэффициентом. Старший коэффициент — число перед соответствующей старшей степенью. Например, у многочлена \(7x^3-2x+5\) степень равна \(3\), а старший коэффициент равен \(7\). Обозначения \(a_n\) и \(b_m\) ниже — просто названия старших коэффициентов; индексы \(n\) и \(m\) напоминают, к каким степеням они относятся.
Пусть степень числителя равна \(n\), степень знаменателя — \(m\), а старшие коэффициенты равны соответственно \(a_n\neq0\) и \(b_m\neq0\). Тогда при больших по модулю \(x\)
Эта запись сразу объясняет все три случая.
Сравнение степеней | Что происходит |
|---|---|
\(n<m\) | В знаменателе остаётся более высокая степень, поэтому предел равен \(0\). |
\(n=m\) | Степени сокращаются, и предел равен \(\dfrac{a_n}{b_m}\). |
\(n>m\) | По модулю дробь растёт как \(\left|\dfrac{a_n}{b_m}\right||x|^{\,n-m}\). Знак нужно определить по \(\dfrac{a_n}{b_m}\), направлению \(x\to+\infty\) или \(x\to-\infty\) и чётности \(n-m\). |
Надёжный алгоритм для отношения многочленов — разделить числитель и знаменатель на \(x^m\), где \(m\) — степень знаменателя. Тогда знаменатель стремится к своему старшему коэффициенту \(b_m\neq0\), а в числителе сразу видно, остаётся ли положительная степень \(x\), константа или только отрицательные степени. Все члены вида \(\dfrac1{x^k}\), \(k>0\), стремятся к нулю.
Односторонние пределы
До сих пор запись \(x\to a\) означала, что к точке \(a\) можно приближаться с обеих сторон. Но иногда поведение функции слева и справа различается настолько сильно, что рассматривать эти направления нужно отдельно.
Перед строгой формулой зафиксируем обозначения. \(D_f\) — область определения функции, то есть множество всех допустимых значений \(x\). Число \(\varepsilon>0\) задаёт требуемую точность по значениям функции, а \(\delta>0\) — насколько близко для этого нужно подойти по оси \(x\) к точке \(a\).
Фрагмент записи | Как читать | Что означает здесь |
|---|---|---|
\(x\to a^-,\quad x\to a^+\) | «икс стремится к \(a\) слева; икс стремится к \(a\) справа» | К точке \(a\) приближаются только с указанной стороны. |
\(\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\) | «для любого эпсилон больше нуля существует дельта больше нуля» | Какую бы точность по значениям функции ни потребовали, можно подобрать достаточную близость аргумента к \(a\). |
\(\forall x\in D_f:\ a-\delta<x<a\) | «для любого допустимого \(x\) между \(a-\delta\) и \(a\)» | Проверяются все достаточно близкие к \(a\) точки области определения слева. |
\(\forall x\in D_f:\ a<x<a+\delta\) | «для любого допустимого \(x\) между \(a\) и \(a+\delta\)» | Проверяются все достаточно близкие к \(a\) точки области определения справа. |
\(\Longrightarrow\ |f(x)-L|<\varepsilon\) | «тогда модуль \(f(x)-L\) меньше эпсилон» | Значение \(f(x)\) оказывается от \(L\) на расстоянии меньше заданной точности \(\varepsilon\). |
Обозначения \(a^-\) и \(a^+\) указывают сторону приближения, а не новое число. Встречающиеся в некоторых учебниках записи \(a-0\) и \(a+0\) передают ту же идею.
Если допустимые точки есть только с одной стороны, предел по области определения рассматривают по этой стороне; требовать несуществующий второй односторонний предел в такой ситуации нельзя.
Рассмотрим функцию:
При \(x=\dfrac12\) знаменатель равен нулю, поэтому сама функция там не определена. Посмотрим на знак знаменателя около этой точки. Числитель около \(\dfrac12\) положителен, поскольку
Слева \(2x-1<0\) и стремится к нулю, а справа \(2x-1>0\) и тоже стремится к нулю. Поэтому
Прямую \(x=\dfrac12\) называют вертикальной асимптотой: приближаясь к ней слева или справа, мы видим, что модуль значений функции неограниченно растёт.
Неопределённость \(\dfrac00\): многочлены
Пусть при \(x\to a\) дана дробь
из многочленов, а подстановка даёт
Получилась неопределённость \(\dfrac00\). Здесь общий нуль обычно указывает на общий множитель.
Отсюда получается алгоритм:
убедиться, что действительно получена форма \(\dfrac00\);
разложить числитель и знаменатель на множители;
сократить общий множитель \(x-a\) для \(x\neq a\);
снова выполнить подстановку уже в сокращённое выражение.
Неопределённость \(\dfrac00\): корни и сопряжённое
Если нуль создают выражения с квадратными корнями, вынести общий множитель напрямую часто неудобно. Тогда помогает сопряжённое выражение.
Словом «радикал» ниже мы называем выражение с корнем. В наших примерах рационализация — это домножение на подходящее сопряжённое: после разности квадратов корень перестаёт скрывать общий множитель.
Для разности \(A-B\) сопряжённым является \(A+B\), и наоборот. Их произведение сводится к разности квадратов:
Например,
Неопределённость \(\infty-\infty\)
Сопряжённое выражение полезно не только при \(\dfrac00\). Оно часто превращает разность двух больших радикальных выражений в дробь, где уже можно сравнить скорости роста.
Мини-пример при \(x\to-\infty\). Так как для всех достаточно больших по модулю отрицательных \(x\) выполнено \(|x|=-x\), получаем
Если бы мы ошибочно заменили \(\sqrt{x^2}\) на \(x\), получился бы неверный ответ \(1\).
Как выбрать метод
После нескольких типов примеров легко начать выбирать преобразование по внешнему виду: «вижу корень — сразу домножаю на сопряжённое». Надёжнее действовать иначе: сначала определить, что показывают предельные значения отдельных частей выражения и почему этого ещё недостаточно для ответа.
Что увидели | Что это обычно означает | Первый разумный шаг |
|---|---|---|
Обычное число после подстановки в конечной точке | Возможно, предел находится по непрерывности | Проверить непрерывность составляющих и условия операций; только затем закончить подстановкой. |
\(\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]\) у многочленов | Конкурируют скорости роста | Выделить старшую степень или разделить на неё. |
\(\left[\dfrac00\right]\) у многочленов | Скрыт общий множитель \(x-a\) | Разложить на множители и сократить в проколотой окрестности. |
\(\left[\dfrac00\right]\) с корнями | Общий множитель скрыт радикалом | Использовать сопряжённое выражение. |
\([\infty-\infty]\) с корнями | Два больших слагаемых почти компенсируются | Домножить на сопряжённое и получить дробь. |
Знаменатель \(\to0\), числитель \(\to C\neq0\) | Возможны разные знаки слева и справа | Исследовать односторонние пределы и знак выражения. |
Сложная, но зажатая функция | Прямой предел внутренней части может не существовать | Найти две простые границы и применить теорему о зажатой функции. |
Типичные ошибки
Проверьте себя
Попробуйте сначала ответить самостоятельно, а затем свериться с ответами ниже.
Что означает запись \(\left[\dfrac00\right]\): значение предела, отсутствие предела или сигнал, что прямой подстановки недостаточно?
Известно, что
\[f(x)\to3, \qquad g(x)\to-2 \qquad (x\to x_0)\]Найдите
\[\lim_{x\to x_0} \frac{2f(x)+g(x)}{f(x)-g(x)}\]и проверьте условие для знаменателя.
Вычислите
\[\lim_{x\to+\infty} \frac{7x^2-x+3}{2x^2+5}\]Определите знак бесконечного предела:
\[\lim_{x\to-\infty} \frac{x^3+1}{x^2+4}\]Исследуйте односторонние пределы функции
\[\frac1{(x-1)^2}\]при \(x\to1\). Можно ли записать общий бесконечный предел?
Вычислите
\[\lim_{x\to2} \frac{x^2+x-6}{x-2}\]Используйте сопряжённое выражение:
\[\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\]Вычислите
\[\lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)\]Какую теорему удобнее всего применить к
\[\lim_{x\to0}|x|\sin\frac1x\]если предел \(\sin\dfrac1x\) не существует?
Почему сокращение множителя \(x-a\) при вычислении предела \(x\to a\) не означает, что мы разрешили деление на ноль?
Найдите
\[\lim_{x\to1^-}\frac1{x-1}, \qquad \lim_{x\to1^+}\frac1{x-1}\]Существует ли двусторонний предел?
Какое дополнительное условие нужно проверить, чтобы из
\[f(x)\to A, \qquad g(x)\to B\]заключить
\[\frac{f(x)}{g(x)}\to\frac AB?\]
Ответы к разделу «Проверьте себя».
Ниже приведены не только итоговые ответы, но и ход рассуждения. Если результат не совпал, сравнивайте решение по шагам: где применяется теорема, какое условие проверяется и почему выполненное преобразование законно.
Запись \(\left[\frac00\right]\) — не значение предела и не сообщение о том, что предела нет. Это неопределённая форма: прямая подстановка дала ноль и в числителе, и в знаменателе, поэтому по одной этой записи ответ определить нельзя. Например,
\[\frac{x}{x}=1 \quad (x\neq0), \qquad \frac{x^2}{x}=x \quad (x\neq0),\]поэтому при \(x\to0\) первая дробь стремится к \(1\), а вторая — к \(0\). Значит, после появления \(\frac00\) нужно преобразовывать конкретное выражение.
Из условий
\[f(x)\to3, \qquad g(x)\to-2 \qquad (x\to x_0)\]сначала найдём предел числителя:
\[2f(x)+g(x)\to2\cdot3+(-2)=4\]Теперь проверим знаменатель:
\[f(x)-g(x)\to3-(-2)=5\neq0\]Именно ненулевой предел знаменателя разрешает применить правило частного. Поэтому
\[\lim_{x\to x_0}\frac{2f(x)+g(x)}{f(x)-g(x)} =\frac45\]И числитель, и знаменатель имеют степень \(2\). Чтобы не пользоваться правилом как «лайфхаком», разделим дробь на \(x^2\):
\[\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty}\frac{7x^2-x+3}{2x^2+5} &= \lim_{x\to+\infty} \frac{7-\dfrac1x+\dfrac3{x^2}} {2+\dfrac5{x^2}} \\ &=\frac{7-0+0}{2+0} =\frac72 \end{aligned}\]Все дроби \(\dfrac1x\) и \(\dfrac1{x^2}\) стремятся к нулю, поэтому остаётся отношение старших коэффициентов.
Выделим множитель \(x\):
\[\frac{x^3+1}{x^2+4} = x\,\frac{1+\dfrac1{x^3}}{1+\dfrac4{x^2}}\]Внутренняя дробь стремится к \(1>0\). Значит, начиная с некоторого момента, её знак положителен, и знак всего выражения определяется множителем \(x\). Так как \(x\to-\infty\), получаем
\[\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3+1}{x^2+4}=-\infty\]Рассмотрим
\[\frac1{(x-1)^2}\]При \(x\neq1\) квадрат \((x-1)^2\) всегда положителен. Когда \(x\to1\) с любой стороны, этот положительный знаменатель стремится к нулю. Поэтому дробь становится сколь угодно большой положительной:
\[\lim_{x\to1^-}\frac1{(x-1)^2}=+\infty, \qquad \lim_{x\to1^+}\frac1{(x-1)^2}=+\infty\]Односторонние бесконечные пределы совпадают, поэтому здесь принято писать и общий двусторонний бесконечный предел
\[\lim_{x\to1}\frac1{(x-1)^2}=+\infty\]Подстановка даёт \(\dfrac00\), поэтому разложим числитель:
\[x^2+x-6=(x-2)(x+3)\]Для \(x\neq2\) можно сократить общий множитель \(x-2\):
\[\frac{x^2+x-6}{x-2}=x+3\]Предел рассматривает как раз значения \(x\), близкие к \(2\), но отличные от \(2\), поэтому сокращение законно. Тогда
\[\lim_{x\to2}\frac{x^2+x-6}{x-2} =\lim_{x\to2}(x+3) =5\]Подстановка снова даёт \(\dfrac00\). Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt{1+x}+1\):
\[\begin{aligned} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} &= \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)} {x(\sqrt{1+x}+1)} \\ &= \frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)} \end{aligned}\]При \(x\neq0\) сокращаем \(x\):
\[\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} =\frac1{\sqrt{1+x}+1}\]Теперь знаменатель при \(x=0\) равен \(2\neq0\), и обычная подстановка допустима:
\[\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} =\frac12\]Получаем форму \([\infty-\infty]\), поэтому используем сопряжённую сумму:
\[\begin{aligned} \sqrt{x^2+4x}-x &= \frac{(x^2+4x)-x^2}{\sqrt{x^2+4x}+x} \\ &= \frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x} \end{aligned}\]При \(x\to+\infty\) все достаточно большие \(x\) положительны, поэтому
\[\sqrt{x^2+4x}=x\sqrt{1+\frac4x}\]Делим числитель и знаменатель на \(x>0\):
\[\frac{4}{\sqrt{1+\dfrac4x}+1} \longrightarrow \frac4{1+1}=2\]Следовательно, исходный предел равен \(2\).
Сам предел \(\sin\dfrac1x\) при \(x\to0\) не существует, но для любого \(x\neq0\)
\[-1\leq\sin\frac1x\leq1\]Умножаем на \(|x|\geq0\), поэтому знаки неравенств сохраняются:
\[-|x| \leq |x|\sin\frac1x \leq |x|\]Обе границы стремятся к нулю. По теореме о зажатой функции
\[\lim_{x\to0}|x|\sin\frac1x=0\]Сокращение выполняется не в самой точке \(x=a\), а для близких к ней значений \(x\neq a\). В проколотой окрестности
\[x-a\neq0,\]поэтому деление на этот множитель законно. После сокращения исходная и новая функции совпадают во всех рассматриваемых точках достаточно близко к \(a\); возможное различие только в самой точке \(a\) на предел не влияет.
У дроби
\[\frac1{x-1}\]числитель постоянно положителен. При \(x\to1^-\) знаменатель \(x-1\) отрицателен и стремится к нулю, поэтому
\[\lim_{x\to1^-}\frac1{x-1}=-\infty\]При \(x\to1^+\) знаменатель положителен и стремится к нулю:
\[\lim_{x\to1^+}\frac1{x-1}=+\infty\]Левое и правое поведения различаются, поэтому общего двустороннего предела в этой точке нет.
Для правила частного недостаточно только существования пределов \(A\) и \(B\). Нужно дополнительно проверить
\[B\neq0\]Тогда достаточно близко к предельной точке знаменатель \(g(x)\) остаётся отделённым от нуля, и деление корректно. После этой проверки можно заключить
\[\frac{f(x)}{g(x)}\to\frac AB\]
Решения задач по ходу статьи.
По арифметическим свойствам пределов
\[2f(x)+3g(x)\to2(-2)+3\cdot3=5\]Для произведения сначала находим пределы обоих множителей:
\[f(x)-g(x)\to-2-3=-5, \qquad f(x)+g(x)\to-2+3=1\]Поэтому
\[\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\to(-5)\cdot1=-5\]В третьем выражении отдельно проверяем знаменатель:
\[f(x)+g(x)\to1\neq0\]Значит, правило частного применимо, и
\[\frac{2f(x)-g(x)}{f(x)+g(x)} \to \frac{2(-2)-3}{-2+3} =-7\]Из неравенства
\[-1\leq\sin\frac1x\leq1\]и условия \(x^2\geq0\) получаем
\[-x^2 \leq x^2\sin\frac1x \leq x^2\]При \(x\to0\)
\[-x^2\to0, \qquad x^2\to0\]Обе зажимающие функции имеют один предел, поэтому по теореме о зажатой функции
\[\lim_{x\to0}x^2\sin\frac1x=0\]Выделим множитель \(x\):
\[\frac{2x^5-x}{x^4+3} = x\,\frac{2-\dfrac1{x^4}}{1+\dfrac3{x^4}}\]Внутренняя дробь стремится к
\[\frac{2-0}{1+0}=2>0\]Следовательно, её знак начиная с некоторого момента положителен. Поскольку \(x\to-\infty\), произведение положительной величины, близкой к \(2\), на \(x\) стремится к \(-\infty\):
\[\lim_{x\to-\infty}\frac{2x^5-x}{x^4+3}=-\infty\]Для
\[r(x)=\frac{x+1}{x-2}\]около точки \(2\) числитель \(x+1\) близок к \(3\), поэтому остаётся положительным. Слева от \(2\)
\[x-2\to0^-,\]значит,
\[\lim_{x\to2^-}\frac{x+1}{x-2}=-\infty\]Справа
\[x-2\to0^+,\]поэтому
\[\lim_{x\to2^+}\frac{x+1}{x-2}=+\infty\]Односторонние пределы различаются, следовательно, двустороннего предела при \(x\to2\) нет.
Подстановка даёт \(\dfrac00\). Используем разность квадратов:
\[x^2-9=(x-3)(x+3)\]Для \(x\neq3\)
\[\frac{x^2-9}{x-3}=x+3\]Мы не делим на ноль: сокращение выполняется только в проколотой окрестности точки \(3\), где \(x-3\neq0\). Поэтому
\[\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3} =\lim_{x\to3}(x+3) =6\]Подстановка даёт \(\dfrac00\). Сопряжённое к числителю — \(\sqrt{x+4}+3\). Домножаем на него:
\[\begin{aligned} \frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5} &= \frac{(\sqrt{x+4}-3)(\sqrt{x+4}+3)} {(x-5)(\sqrt{x+4}+3)} \\ &= \frac{x+4-9}{(x-5)(\sqrt{x+4}+3)} \\ &= \frac{x-5}{(x-5)(\sqrt{x+4}+3)} \end{aligned}\]При \(x\neq5\) сокращается именно множитель \(x-5\):
\[\frac1{\sqrt{x+4}+3}\]Теперь можно подставить \(x=5\):
\[\lim_{x\to5}\frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5} =\frac1{3+3} =\frac16\]Здесь получаем форму \([\infty-\infty]\). Домножаем на сопряжённую сумму:
\[\begin{aligned} \sqrt{x^2+3x}-x &= \frac{x^2+3x-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x} \\ &= \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x} \end{aligned}\]Так как \(x\to+\infty\), все достаточно большие \(x\) положительны. Поэтому \(|x|=x\), и
\[\sqrt{x^2+3x} =x\sqrt{1+\frac3x}\]После деления числителя и знаменателя на \(x>0\) получаем
\[\frac3{\sqrt{1+\dfrac3x}+1} \longrightarrow \frac3{1+1} =\frac32\]Следовательно,
\[\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)=\frac32\]
Итог
В вычислении пределов важнее не запомнить длинный список трюков, а научиться распознавать, что показывает первая диагностическая проверка и почему она ещё не всегда даёт ответ.
Главная смысловая схема.
Ситуация | Главная мысль |
|---|---|
Арифметика пределов | Сначала убедиться, что исходные пределы существуют; для частного предел знаменателя должен быть ненулевым. |
Теорема о зажатой функции | Если \(h(x)\leq g(x)\leq f(x)\), а обе границы стремятся к одному \(A\), то и \(g(x)\to A\). |
\(\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]\) | У многочленов сравнить старшие степени; при неограниченном результате обязательно определить знак. |
Односторонние пределы | Если к точке можно подходить по области определения и слева, и справа, двусторонний конечный предел существует именно при совпадении левого и правого конечных пределов. |
\(\left[\dfrac00\right]\) у многочленов | Найти общий множитель \(x-a\) и сократить его для \(x\neq a\). |
\(\left[\dfrac00\right]\) с корнями | Сопряжённое выражение превращает разность радикалов в разность квадратов. |
\([\infty-\infty]\) | Сопряжённое часто переводит разность в дробь, где можно сравнить скорости роста. |
Корень на бесконечности | Всегда помнить \(\sqrt{x^2}=|x|\) и только затем учитывать знак \(x\). |
Удобно держать в голове один маршрут:
Эти методы составляют базовый набор алгебраических приёмов для вычисления пределов, но не исчерпывают все возможные неопределённости. Например, форма \([0\cdot\infty]\) потребует отдельного преобразования. Следующий естественный шаг — замечательные пределы и эквивалентные бесконечно малые, которые позволяют работать с тригонометрическими, показательными и логарифмическими выражениями.