Предел функции в точке: определения по Коши и Гейне
Содержание
Разбор \(\varepsilon\)–\(\delta\)-определения
В этой статье, если не оговорено иное, рассматриваем только конечные пределы: предполагаемый предел \(A\) является действительным числом, то есть \(A\in\mathbb R\). Случаи, в которых функция неограниченно растёт к \(+\infty\) или \(-\infty\), требуют отдельных определений и здесь не рассматриваются.
Для чтения достаточно помнить школьный смысл модуля: \(|u-v|\) — расстояние между числами \(u\) и \(v\). Если пределы последовательностей пока незнакомы, это не помешает первым разделам: перед определением Гейне мы отдельно напомним, что такое последовательность и что означает запись \(x_n\to a\). Все остальные новые обозначения будем расшифровывать прямо перед первым существенным использованием.
По ходу статьи встречаются два вида практики. В блоках «Пример» решение разобрано полностью. Блоки «Задача» предназначены для самостоятельной работы; подробные решения к ним собраны после блока самопроверки.
Что такое функция
Сначала точно определим сам объект — функцию. У функции есть аргумент \(x\) — число, которое мы подаём на вход, и значение \(f(x)\) — число, которое получаем на выходе. При этом подставлять в функцию можно не любое число: множество всех разрешённых аргументов называется областью определения.
В определении подряд появились несколько новых обозначений. Разберём их как целые смысловые фрагменты.
Фрагмент записи | Что означает здесь |
\(D_f\subseteq\mathbb R\) | Область определения \(D_f\) состоит из действительных чисел. |
\(f\colon D_f\to\mathbb R\) | Функция принимает аргументы из \(D_f\) и возвращает действительные значения. |
\(x\in D_f\) | Число \(x\) является допустимым аргументом функции. |
\(f(x)\in\mathbb R\) | Значение функции при допустимом \(x\) является действительным числом. |
Здесь \(\mathbb R\) — множество всех действительных чисел, то есть вся числовая прямая.
Сравнение с последовательностью удобно записать так:
Стрелка \(\longmapsto\) здесь читается «переходит в»: входному числу сопоставляется выходное.
Здесь \(\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}\) — натуральные числа. Последовательность можно воспринимать как частный вид функции: на вход она получает номер \(n\), а на выходе даёт член \(x_n\).
Важно не подменять \(D_f\) всей числовой прямой. Например, функция \(f(x)=\dfrac1x\) имеет область определения \(\mathbb R\setminus\{0\}\): знак \(\setminus\) означает, что из \(\mathbb R\) удалили число \(0\). У функции \(g(x)=\sqrt{x}\) область определения равна \([0;+\infty)\), то есть разрешены все \(x\ge0\).
Что описывает предел функции
Пусть нас интересует поведение \(f(x)\), когда аргумент \(x\) приближается к некоторой точке \(x_0\). Запись
говорит не о том, чему функция равна в точке \(x_0\), а о том, к какому числу становятся близки значения \(f(x)\) при \(x\), близких к \(x_0\) и отличных от него.
Сравним два вопроса:
Что спрашиваем | Запись | Что важно |
Предел функции | \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=A\) | Значения \(f(x)\) в точках \(x\ne x_0\), расположенных сколь угодно близко к \(x_0\). |
Значение функции | \(f(x_0)=B\) | Только результат подстановки самого аргумента \(x_0\), если \(x_0\in D_f\). |
На рисунке значения функции при движении вдоль графика приближаются к \(A\), хотя в самой точке функция равна \(B\). Это не противоречие: предел не использует \(f(x_0)\).
Окрестности и проколотые окрестности
Чтобы заменить слова «достаточно близко» точным условием, будем измерять расстояние модулем.
Неравенство \(|x-a|<r\) буквально означает: расстояние от \(x\) до \(a\) меньше \(r\). Круглые скобки в \((a-r;\,a+r)\) показывают, что крайние точки \(a-r\) и \(a+r\) в интервал не входят. Запись
читается: «множество всех действительных \(x\), для которых выполняется \(|x-a|<r\)».
Знак \(\setminus\{a\}\) означает «удалить точку \(a\)». Поэтому маленький кружок над \(U\) в обозначении \(\mathring U_r(a)\) удобно воспринимать как напоминание о «проколе»: центр не входит. Если проколотую окрестность записывают двумя интервалами, знак \(\cup\) между ними означает объединение — берём точки либо из левого, либо из правого интервала.
В определении предела будут одновременно участвовать две окрестности:
\(\mathring U_\delta(x_0)\) — вертикальный «коридор» по аргументу \(x\);
\(U_\varepsilon(A)\) — горизонтальный «коридор» по значениям \(f(x)\).
Буквы \(\delta\) и \(\varepsilon\) не обозначают заранее заданные специальные числа. Это положительные размеры двух окрестностей.
Определение предела по Коши
Теперь можно точно сформулировать идею «если \(x\) достаточно близок к \(x_0\), то \(f(x)\) достаточно близко к \(A\)».
Будем считать, что \(x_0\) является предельной точкой области определения \(D_f\): в каждой сколь угодно малой проколотой окрестности \(x_0\) есть точки множества \(D_f\). Проще говоря, к \(x_0\) действительно можно приближаться разрешёнными аргументами \(x\ne x_0\). Подход с двух сторон не требуется: например, \(0\) является предельной точкой \([0;+\infty)\), хотя точки этого множества подходят к нулю только справа. А для множества \(D_f=\{0\}\) число \(0\) предельной точкой не является: рядом с ним нет других допустимых аргументов. Сама точка \(x_0\) при этом может как принадлежать, так и не принадлежать \(D_f\).
На рисунке показан конкретный пример для \(f(x)=2x+1\), \(x_0=1\) и \(A=3\). Если взять \(\delta=\dfrac\varepsilon2\), то из \(|x-1|<\delta\) автоматически следует \(|f(x)-3|<\varepsilon\).
Для наглядности на рисунке взяты \(\varepsilon=0{,}8\) и \(\delta=0{,}4\). Пунктирные линии показывают границы соответствующих окрестностей; из-за строгих неравенств сами границы в них не входят. Пустой кружок у \(x_0\) на нижней оси напоминает о проколе: аргумент \(x=x_0\) при проверке предела не используется.
Если \(\varepsilon\) уменьшить, горизонтальная окрестность станет уже. Тогда определение разрешает подобрать новое, обычно меньшее \(\delta_\varepsilon\).
Разбор \(\varepsilon\)–\(\delta\)-определения
Самая трудная часть определения для первого знакомства — не модуль, а порядок слов «для любого» и «существует». Такие логические символы называют кванторами. Буквы \(\varepsilon\) («эпсилон») и \(\delta\) («дельта») обозначают положительные расстояния: \(\varepsilon\) задаёт допустимую ошибку по значению функции, а \(\delta\) — допустимое отклонение аргумента от \(x_0\). Индекс \(\varepsilon\) в записи \(\delta_\varepsilon\) — не умножение: он напоминает, что выбранное число \(\delta\) может зависеть от заданного \(\varepsilon\).
Разберём запись из определения не по отдельным значкам, а по полным смысловым фрагментам.
Фрагмент записи | Что означает здесь |
\(\forall\varepsilon>0\) | Какую бы положительную точность \(\varepsilon\) нам ни задали, доказательство должно работать. |
\(\exists\delta_\varepsilon>0\) | После выбора точности разрешено подобрать подходящую положительную ширину окрестности \(\delta_\varepsilon\). |
\(\forall x\in D_f\) | Одно выбранное \(\delta_\varepsilon\) должно работать сразу для всех допустимых точек, а не для одной удобной точки. |
\(0<|x-x_0|<\delta_\varepsilon\) | Аргумент находится в проколотой \(\delta_\varepsilon\)-окрестности: близко к \(x_0\), но не равен \(x_0\). |
\(\Longrightarrow\) | Близость аргумента должна гарантировать требуемую близость значения функции. |
\(|f(x)-A|<\varepsilon\) | Значение функции попадает внутрь заданной \(\varepsilon\)-окрестности предполагаемого предела. |
Порядок здесь принципиален: сначала задают произвольную точность \(\varepsilon\), затем мы выбираем одно подходящее \(\delta_\varepsilon\), и оно должно сработать сразу для всех допустимых \(x\) из выбранной проколотой окрестности. Число \(\delta_\varepsilon\) может зависеть от \(\varepsilon\) и от самой задачи, но после выбора его нельзя менять от точки к точке.
Если некоторое \(\delta\) подходит, то любое меньшее положительное \(\delta'\) тоже подходит: мы просто рассматриваем более узкую область по \(x\).
Смысл утверждения такой: одна и та же функция не может в одной и той же точке одновременно стремиться к двум разным числам. Если бы кандидатами были разные числа \(A\) и \(B\), можно было бы выбрать настолько маленькие окрестности вокруг них, чтобы они не пересекались. Но при достаточно близких к \(x_0\) допустимых аргументах значения функции по определению должны были бы одновременно попадать в обе окрестности, что невозможно.
Как доказывать предел по Коши
В учебной задаче число \(A\) обычно уже предполагается известным, а требуется строго доказать
Главная работа — построить подходящее \(\delta_\varepsilon\).
Поиск \(\delta\) часто идёт «с конца»: мы изучаем, чего достаточно для неравенства \(|f(x)-A|<\varepsilon\). Это черновой поиск. В окончательном доказательстве логика должна идти вперёд от выбранного \(\delta\).
Линейная функция — самый прозрачный случай. Для квадрата появляется дополнительный множитель, который нужно сначала взять под контроль.
Почему значение в точке не определяет предел
В условии Коши стоит строгое неравенство
Левая часть \(0<|x-x_0|\) исключает равенство \(x=x_0\). Поэтому значение \(f(x_0)\) в определение предела вообще не входит.
Если в этой же формуле вообще не задавать значение при \(x=1\), предел всё равно останется равным \(2\): для предела достаточно поведения функции в проколотой окрестности.
Определение предела по Гейне
Коши контролирует все допустимые точки \(x\in D_f\) в малой проколотой окрестности. Гейне переводит ту же идею на язык произвольных последовательностей \(x_n\to x_0\).
Как и в определении Коши, считаем \(x_0\) предельной точкой \(D_f\).
В определении Гейне тоже важно видеть смысл всей записи, а не только отдельных символов.
Фрагмент записи | Что означает здесь |
\(x_n\in D_f\) | Каждый член последовательности является допустимым аргументом функции. |
\(x_n\ne x_0\) для всех \(n\) | Ни один член последовательности не попадает прямо в центральную точку \(x_0\). |
\(x_n\to x_0\) | Аргументы последовательности становятся сколь угодно близкими к \(x_0\). |
\(f(x_n)\to A\) | Значения функции вдоль этой последовательности должны приближаться к одному и тому же числу \(A\). |
Условия \(x_n\in D_f\) и \(x_n\ne x_0\) означают, что каждый член — допустимый аргумент функции, но ни один член не равен \(x_0\). Такие последовательности дальше будем коротко называть допустимыми. Смысл слова «каждой» принципиален. Последовательность может подходить к \(x_0\) справа, слева или бесконечно менять сторону; может делать это монотонно, то есть всё время двигаться в одном направлении, или колебаться вокруг \(x_0\). Если предел функции существует, все такие способы приближения должны давать один и тот же предел значений функции.
Коши и Гейне: два языка одной идеи
Определения выглядят по-разному. Коши говорит об окрестностях и двух параметрах близости: \(\varepsilon\) задаёт требуемую точность по значению функции, а \(\delta\) — допустимую близость аргумента к \(x_0\). Гейне говорит о последовательностях. Тем не менее для обычного конечного предела функции в точке они описывают одно и то же свойство.
Слово «равносильны» означает, что из первого утверждения следует второе и, наоборот, из второго следует первое. Именно эту эквивалентность часто формулируют как критерий Гейне: существование и значение предела функции можно проверять по поведению \(f(x_n)\) для каждой допустимой последовательности \(x_n\to x_0\). Условие необходимо: если предел есть, оно обязательно выполняется. И достаточно: если оно выполняется для каждой допустимой последовательности, то предел действительно равен \(A\).
Сравниваем | Коши | Гейне |
Что проверяем | Все допустимые \(x\in D_f\) в достаточно малой проколотой окрестности. | Любую допустимую последовательность \(x_n\to x_0\). |
Главный язык | Расстояния, \(\varepsilon\) и \(\delta\). | Пределы последовательностей. |
Особенно удобно | Строить явную оценку \(\delta_\varepsilon\). | Опровергать существование предела удачно выбранными последовательностями. |
Интуитивная связь такая: если все допустимые точки из достаточно малой проколотой \(\delta\)-окрестности отправляются внутрь \(\varepsilon\)-окрестности числа \(A\), то для любой допустимой последовательности \(x_n\to x_0\) найдётся номер \(N\) такой, что
Значит, начиная с номера \(N\), все значения \(f(x_n)\) находятся внутри \(\varepsilon\)-окрестности числа \(A\). Обратное направление требует аккуратно превратить нарушение условия Коши в последовательность нарушающих точек.
Поэтому Коши особенно удобен для явной оценки \(\delta_\varepsilon\), а Гейне — для опровержения предела последовательностями.
Как с помощью Гейне доказать, что предела нет
Из определения Гейне следует очень практичный способ опровержения. Если бы предел \(A\) существовал, каждая последовательность аргументов \(x_n\to x_0\) должна была бы давать один и тот же предел \(f(x_n)\to A\).
Поэтому достаточно найти два допустимых способа приближения к \(x_0\), которые приводят значения функции к разным числам.
Это непосредственное применение Гейне: один общий предел функции не может одновременно заставить последовательности значений сходиться к двум разным числам.
Чем ближе \(x\) к нулю справа, тем чаще колеблется \(\sin\dfrac1x\); рисунок показывает лишь конечный фрагмент этой бесконечной картины. При этом обе группы отмеченных аргументов находятся справа от нуля и приближаются к нему, но соответствующие значения функции остаются на разных уровнях \(1\) и \(-1\). Значит, причина отсутствия предела здесь сложнее простого несовпадения поведения «слева» и «справа».
Типичные ошибки
Проверьте себя
Вопросы и мини-задачи.
Сначала решите их самостоятельно, а затем сверитесь с подробными решениями ниже.
В чём принципиальная разница между утверждениями
\[\lim_{x\to x_0}f(x)=A \qquad\text{и}\qquad f(x_0)=A?\]Запишите проколотую \(0{,}2\)-окрестность точки \(3\) в виде объединения интервалов и в виде двойного неравенства с модулем.
Что выбирают сначала в определении Коши: \(\varepsilon\) или \(\delta\)? Может ли \(\delta\) зависеть от \(\varepsilon\)? Может ли после этого \(\delta\) зависеть от конкретного \(x\)?
Для функции \(f(x)=4x+1\) подберите \(\delta_\varepsilon\), доказывающее
\[\lim_{x\to2}(4x+1)=9\]Докажите по Коши
\[\lim_{x\to1}x^2=1\]Укажите явный выбор \(\delta_\varepsilon\).
Пусть
\[g(x)= \begin{cases} 2x+1, & x\ne0\\ 7, & x=0 \end{cases}\]Найдите \(g(0)\) и \(\lim\limits_{x\to0}g(x)\).
Пусть \(x_n\to3\) и \(x_n\ne3\) для всех \(n\). К какому числу стремится \(2x_n^2-1\)? Как это связано с определением Гейне для функции \(f(x)=2x^2-1\)?
У функции
\[h(x)= \begin{cases} 0, & x<0\\ 1, & x>0 \end{cases}\]значение при \(x=0\) не задано. Используйте две последовательности, чтобы выяснить, существует ли \(\lim\limits_{x\to0}h(x)\).
Две выбранные вами последовательности \(x_n\to x_0\) дали один и тот же предел \(f(x_n)\to A\). Достаточно ли этого, чтобы доказать \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\) по Гейне?
В попытке доказать предел после заданного \(\varepsilon\) для каждой точки \(x\) нашли своё число \(\delta_x>0\). Какое слово в определении Коши нарушено таким рассуждением?
Почему запись \(f\colon\mathbb R\to\mathbb R\) не подходит для описания функции \(f(x)=\dfrac1x\)? Запишите область определения корректно.
Восстановите порядок кванторов и условий. Знак \(\Longleftrightarrow\) читается «равносильно»: левая и правая записи выражают одно и то же утверждение.
\[\lim_{x\to x_0}f(x)=A \quad\Longleftrightarrow\quad \ldots\]используя \(\varepsilon\), \(\delta\), \(x\), \(0<|x-x_0|\) и \(|f(x)-A|\).
Ответы к разделу «Проверьте себя».
Предел и значение функции отвечают на разные вопросы. Запись
\[\lim_{x\to x_0}f(x)=A\]описывает поведение значений \(f(x)\) при аргументах \(x\), которые становятся сколь угодно близкими к \(x_0\), но не равны \(x_0\). Поэтому в определении предела используется проколотая окрестность.
Запись
\[f(x_0)=A\]говорит только о результате подстановки самого числа \(x_0\), если функция в этой точке определена. Эти два числа могут совпадать, но это не обязательно. Возможны три ситуации: \(f(x_0)=A\); значение \(f(x_0)\) существует, но отличается от \(A\); значение \(f(x_0)\) вообще не определено. Сам предел во всех трёх случаях может существовать.
Обычная \(0{,}2\)-окрестность точки \(3\) была бы интервалом
\[(3-0{,}2;\,3+0{,}2)=(2{,}8;\,3{,}2)\]Для проколотой окрестности нужно дополнительно удалить сам центр \(3\). Поэтому
\[\mathring U_{0{,}2}(3) =(2{,}8;\,3)\cup(3;\,3{,}2)\]Та же область одной формулой задаётся условием
\[0<|x-3|<0{,}2\]Левая часть \(0<|x-3|\) исключает точку \(x=3\), а правая часть \(|x-3|<0{,}2\) оставляет только точки на расстоянии меньше \(0{,}2\) от неё.
В определении Коши порядок принципиален. Сначала задают произвольное
\[\varepsilon>0\]После этого разрешено выбрать подходящее
\[\delta_\varepsilon>0\]Поэтому \(\delta_\varepsilon\) может зависеть от \(\varepsilon\) и, конечно, от самой функции, точки \(x_0\) и предполагаемого предела \(A\).
Но после того как \(\delta_\varepsilon\) выбрано, оно должно работать сразу для всех допустимых \(x\) с
\[0<|x-x_0|<\delta_\varepsilon\]Подбирать новое \(\delta\) отдельно для каждой точки \(x\) нельзя: тогда не было бы одного общего проколотого интервала, контролирующего поведение функции.
Нужно доказать
\[\lim_{x\to2}(4x+1)=9\]Возьмём произвольное \(\varepsilon>0\). Смотрим на требуемое расстояние до предполагаемого предела:
\[\begin{aligned} |(4x+1)-9| &=|4x-8|\\ &=4|x-2| \end{aligned}\]Чтобы эта величина была меньше \(\varepsilon\), достаточно потребовать
\[|x-2|<\frac{\varepsilon}{4}\]Поэтому выбираем
\[\delta_\varepsilon=\frac{\varepsilon}{4}\]Теперь выполняем проверку в прямом порядке. Если
\[0<|x-2|<\delta_\varepsilon,\]то
\[|(4x+1)-9| =4|x-2| <4\delta_\varepsilon =\varepsilon\]Условие Коши выполнено для любого \(\varepsilon>0\), значит,
\[\lim_{x\to2}(4x+1)=9\]Докажем
\[\lim_{x\to1}x^2=1\]Возьмём произвольное \(\varepsilon>0\). Разность квадратов раскладывается на множители:
\[|x^2-1|=|x-1|\,|x+1|\]Множитель \(|x-1|\) мы можем сделать малым выбором \(\delta\), но \(|x+1|\) тоже зависит от \(x\). Поэтому сначала ограничим его.
Потребуем дополнительно
\[|x-1|<1\]Из этого следует
\[0<x<2,\]а значит,
\[1<x+1<3 \quad\Longrightarrow\quad |x+1|<3\]Теперь
\[|x^2-1|<3|x-1|\]Чтобы одновременно выполнить вспомогательное условие \(|x-1|<1\) и получить \(3|x-1|<\varepsilon\), выбираем
\[\delta_\varepsilon =\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{3}\right\}\]Если
\[0<|x-1|<\delta_\varepsilon,\]то \(|x+1|<3\) и
\[\begin{aligned} |x^2-1| &=|x-1|\,|x+1|\\ &<3|x-1|\\ &<3\delta_\varepsilon\\ &\le\varepsilon \end{aligned}\]Следовательно,
\[\lim_{x\to1}x^2=1\]Сначала найдём значение функции в самой точке. По условию
\[g(0)=7\]Теперь исследуем предел. При \(x\ne0\) действует другая ветвь:
\[g(x)=2x+1\]Поэтому ожидаемый предел равен \(1\). Это можно проверить прямо по Коши. Для произвольного \(\varepsilon>0\) выберем
\[\delta_\varepsilon=\frac{\varepsilon}{2}\]Если \(0<|x|<\delta_\varepsilon\), то
\[|g(x)-1| =|2x+1-1| =2|x| <2\delta_\varepsilon =\varepsilon\]Значит,
\[\lim_{x\to0}g(x)=1, \qquad g(0)=7\]Разные ответы не противоречат друг другу: предел не использует значение функции в центральной точке.
Для данной последовательности \(x_n\to3\) по арифметическим свойствам пределов последовательностей имеем
\[x_n^2\to3^2=9\]Умножение на постоянную и вычитание постоянной сохраняют предел, поэтому
\[2x_n^2-1 \longrightarrow 2\cdot9-1 =17\]То есть для любой такой последовательности значения функции
\[f(x)=2x^2-1\]должны стремиться к \(17\).
Важно различать одну выбранную последовательность и определение Гейне. Проверка одной последовательности сама по себе ещё не доказывает предел функции. Но приведённое рассуждение использует только условие \(x_n\to3\) и поэтому работает для произвольной допустимой последовательности \(x_n\to3\), \(x_n\ne3\). Следовательно, условие Гейне выполнено и
\[\lim_{x\to3}(2x^2-1)=17\]Функция принимает разные постоянные значения по разные стороны от нуля. Поэтому естественно подойти к нулю отдельно слева и справа. Возьмём
\[x_n=-\frac1n, \qquad y_n=\frac1n\]Обе последовательности допустимы: их члены не равны нулю и
\[x_n\to0, \qquad y_n\to0\]Для \(x_n<0\) имеем
\[h(x_n)=0\]при каждом \(n\), поэтому \(h(x_n)\to0\). Для \(y_n>0\) имеем
\[h(y_n)=1\]при каждом \(n\), поэтому \(h(y_n)\to1\).
Получились два разных предела значений функции. Если бы конечный предел \(\lim\limits_{x\to0}h(x)\) существовал, по Гейне обе последовательности значений обязаны были бы стремиться к одному и тому же числу. Это невозможно. Следовательно,
\[\lim_{x\to0}h(x)\text{ не существует}\]Нет. В определении Гейне ключевое слово — «для каждой» допустимой последовательности. Даже если две, десять или сто выбранных последовательностей дают один и тот же результат, может существовать другая последовательность с иным поведением.
Например, для функции
\[h(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 1, & x>0 \end{cases}\]две последовательности \(x_n=1/n\) и \(y_n=1/(n+1)\) обе подходят к нулю справа и дают значение \(1\). Но последовательность \(z_n=-1/n\) подходит к тому же нулю слева и даёт значение \(0\). Поэтому конечное число удачных проверок не заменяет универсальное условие Гейне.
Правильный порядок в определении Коши имеет вид
\[\forall\varepsilon>0\quad \exists\delta_\varepsilon>0\quad \forall x\in D_f:\quad\ldots\]То есть после фиксации \(\varepsilon\) нужно найти одно число \(\delta_\varepsilon\), которое затем подходит для всех соответствующих \(x\).
Если вместо этого для каждой точки \(x\) выбирать своё \(\delta_x\), порядок кванторов фактически меняется. Сравним две схемы:
\[\begin{aligned} \text{правильно:}\quad &\forall\varepsilon>0\ \exists\delta_\varepsilon>0\ \forall x\in D_f,\\ \text{неправильно:}\quad &\forall\varepsilon>0\ \forall x\in D_f\ \exists\delta_x>0 \end{aligned}\]Во второй записи число \(\delta_x\) разрешено менять вместе с точкой \(x\). Это значительно более слабое утверждение: общего проколотого интервала, на котором функция контролируется целиком, мы не получили. Нарушено именно требование выбрать
\[\exists\delta_\varepsilon>0\]до проверки произвольного \(x\).
Запись
\[f\colon\mathbb R\to\mathbb R\]утверждает, что функция определена при каждом действительном аргументе. Но выражение
\[\frac1x\]не имеет смысла при \(x=0\), потому что делить на ноль нельзя. Поэтому число \(0\) нужно исключить из области определения:
\[f\colon\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R, \qquad f(x)=\frac1x\]Здесь символ \(\setminus\{0\}\) означает «удалить ноль из множества действительных чисел». Кодомен \(\mathbb R\) допустим: все значения \(1/x\) являются действительными числами.
Восстановим определение по шагам, а не будем пытаться запомнить всю строку целиком.
Сначала в условии говорится: какую бы положительную точность мы ни потребовали. Это даёт первый квантор
\[\forall\varepsilon>0\]После заданного \(\varepsilon\) мы должны суметь подобрать одну подходящую ширину окрестности:
\[\exists\delta_\varepsilon>0\]Затем выбранное \(\delta_\varepsilon\) должно работать не для одной точки, а для каждого допустимого аргумента:
\[\forall x\in D_f\]Остаётся записать условие «если \(x\) достаточно близок к \(x_0\), но не равен ему, то значение функции достаточно близко к \(A\)»:
\[0<|x-x_0|<\delta_\varepsilon \Longrightarrow |f(x)-A|<\varepsilon\]Соединяя четыре части в правильном порядке, получаем
\[\lim_{x\to x_0}f(x)=A \quad\Longleftrightarrow\quad \forall\varepsilon>0\ \exists\delta_\varepsilon>0\ \forall x\in D_f:\ 0<|x-x_0|<\delta_\varepsilon \Longrightarrow |f(x)-A|<\varepsilon\]Порядок нельзя менять: сначала задаётся \(\varepsilon\), затем выбирается одно подходящее \(\delta_\varepsilon\), и только после этого проверяются все допустимые \(x\).
Решения к задачам по ходу статьи.
Нужно построить обычную и проколотую \(0{,}4\)-окрестности точки \(3\). Сначала вычисляем концы обычной окрестности:
\[3-0{,}4=2{,}6, \qquad 3+0{,}4=3{,}4\]Поэтому
\[U_{0{,}4}(3)=(2{,}6;\,3{,}4)\]Условие через модуль записывается так:
\[U_{0{,}4}(3)=\{x\in\mathbb R:|x-3|<0{,}4\}\]Для проколотой окрестности удаляем сам центр \(3\):
\[\mathring U_{0{,}4}(3) =(2{,}6;\,3)\cup(3;\,3{,}4),\]или, что то же самое,
\[\mathring U_{0{,}4}(3) =\{x\in\mathbb R:0<|x-3|<0{,}4\}\]Докажем по Коши
\[\lim_{x\to3}(5x-4)=11\]Берём произвольное \(\varepsilon>0\) и вычисляем расстояние от значения функции до предполагаемого предела:
\[\begin{aligned} |(5x-4)-11| &=|5x-15|\\ &=5|x-3| \end{aligned}\]Чтобы получить величину меньше \(\varepsilon\), достаточно потребовать
\[|x-3|<\frac{\varepsilon}{5}\]Выбираем
\[\delta_\varepsilon=\frac{\varepsilon}{5}\]Если \(0<|x-3|<\delta_\varepsilon\), то
\[|(5x-4)-11| =5|x-3| <5\delta_\varepsilon =\varepsilon\]Следовательно,
\[\lim_{x\to3}(5x-4)=11\]Докажем
\[\lim_{x\to1}x^2=1\]Для произвольного \(\varepsilon>0\) имеем
\[|x^2-1|=|x-1|\,|x+1|\]Потребуем сначала \(|x-1|<1\). Тогда \(0<x<2\), поэтому \(|x+1|<3\). Значит,
\[|x^2-1|<3|x-1|\]Выбираем
\[\delta_\varepsilon =\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{3}\right\}\]Из \(0<|x-1|<\delta_\varepsilon\) следует
\[\begin{aligned} |x^2-1| &=|x-1|\,|x+1|\\ &<3|x-1|\\ &<3\delta_\varepsilon\\ &\le\varepsilon \end{aligned}\]По определению Коши предел равен \(1\).
Докажем
\[\lim_{x\to1}\frac1x=1\]Сначала преобразуем требуемое расстояние:
\[\begin{aligned} \left|\frac1x-1\right| &=\left|\frac{1-x}{x}\right|\\ &=\frac{|x-1|}{|x|} \end{aligned}\]Нужно не только уменьшить числитель, но и не дать знаменателю приблизиться к нулю. Для этого потребуем
\[|x-1|<\frac12\]Тогда
\[\frac12<x<\frac32,\]следовательно,
\[|x|>\frac12 \quad\Longrightarrow\quad \frac1{|x|}<2\]Поэтому
\[\left|\frac1x-1\right| <2|x-1|\]Чтобы одновременно выполнить вспомогательное условие и получить \(2|x-1|<\varepsilon\), берём
\[\delta_\varepsilon =\min\left\{\frac12,\frac{\varepsilon}{2}\right\}\]Если \(0<|x-1|<\delta_\varepsilon\), то
\[\left|\frac1x-1\right| <2|x-1| <2\delta_\varepsilon \le\varepsilon\]Значит,
\[\lim_{x\to1}\frac1x=1\]Сначала подставляем \(x=2\) в ту ветвь, которая специально задана для этой точки:
\[h(2)=-10\]Для предела значение в точке не используется. При \(x\ne2\) можно разложить числитель:
\[x^2-4=(x-2)(x+2)\]Поскольку при исследовании предела рассматриваются \(x\ne2\), знаменатель \(x-2\) здесь не равен нулю, и сокращение законно. Поэтому в проколотой окрестности точки \(2\)
\[h(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\]Следовательно,
\[\lim_{x\to2}h(x) =\lim_{x\to2}(x+2) =4\]Итак,
\[h(2)=-10, \qquad \lim_{x\to2}h(x)=4\]Противоречия нет: первое число относится к самой точке, второе — к поведению функции рядом с ней.
Нужно проверить предел \(x^2\) при \(x\to2\) по Гейне. Берём произвольную допустимую последовательность \((x_n)\), для которой
\[x_n\to2, \qquad x_n\ne2\]По арифметическому свойству пределов последовательностей
\[x_n^2\to2^2=4\]Мы нигде не задавали специальную формулу для \(x_n\): использовали только факт \(x_n\to2\). Значит, тот же вывод получается для любой допустимой последовательности, приближающейся к \(2\). Именно это слово «любой» и требуется в определении Гейне. Поэтому условие Гейне выполнено и
\[\lim_{x\to2}x^2=4\]Рассматриваем
\[f(x)=\sin\frac1x, \qquad x\ne0,\]и последовательности
\[x_n=\frac{1}{\dfrac\pi2+2\pi n}, \qquad y_n=\frac{1}{\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n}\]В обоих знаменателях величина растёт без границ, поэтому
\[x_n\to0, \qquad y_n\to0\]Кроме того, все члены положительны и не равны нулю, то есть обе последовательности допустимы.
Теперь подставляем их в функцию. Для первой последовательности
\[\begin{aligned} f(x_n) &=\sin\left(\frac1{x_n}\right)\\ &=\sin\left(\frac\pi2+2\pi n\right) =1 \end{aligned}\]Следовательно, \(f(x_n)\to1\). Для второй последовательности
\[\begin{aligned} f(y_n) &=\sin\left(\frac1{y_n}\right)\\ &=\sin\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right) =-1 \end{aligned}\]поэтому \(f(y_n)\to-1\).
Две допустимые последовательности аргументов стремятся к одной точке \(0\), а последовательности значений имеют разные пределы. По критерию Гейне
\[\lim_{x\to0}\sin\frac1x\text{ не существует}\]
Итог
Предел функции отвечает на вопрос о поведении значений \(f(x)\) при приближении аргумента к \(x_0\), но не использует значение функции в самой точке \(x_0\).
Определение Коши переводит слово «близко» на язык расстояний:
Определение Гейне проверяет ту же идею через последовательности:
для каждой допустимой последовательности \((x_n)\).
Для быстрого повторения соберём основные понятия в одну таблицу: в левой колонке указано, что нужно вспомнить, а в правой — его краткий смысл.
Главная смысловая схема.
Понятие | Суть |
Функция | Правило \(f\colon D_f\to\mathbb R\), которое каждому \(x\in D_f\) ставит в соответствие ровно одно значение \(f(x)\). |
Окрестности | \(U_r(a)\) задаётся условием \(|x-a|<r\); проколотая окрестность — условием \(0<|x-a|<r\). |
Предельная точка | К \(x_0\) можно приближаться другими допустимыми точками области определения; именно в таких точках обычный предел описывает поведение функции рядом с \(x_0\). |
Предел \(A\) | Все значения функции при достаточно близких к \(x_0\) допустимых аргументах \(x\ne x_0\) можно удержать сколь угодно близко к \(A\). |
Предел и значение в точке | \(f(x_0)\) не участвует в обычном пределе: значение в точке может совпадать с пределом, отличаться от него или вообще не существовать. |
Единственность предела | Если конечный предел при \(x\to x_0\) существует, другого конечного значения у этого же предела быть не может. |
Коши | Для каждого \(\varepsilon>0\) существует \(\delta_\varepsilon>0\), которое контролирует все допустимые \(x\in D_f\) из соответствующей проколотой окрестности. |
Гейне | Каждая последовательность, для которой \(x_n\in D_f\), \(x_n\ne x_0\) и \(x_n\to x_0\), должна порождать \(f(x_n)\to A\). |
Как опровергнуть предел | Достаточно найти две допустимые последовательности аргументов, для которых значения функции стремятся к разным числам. |
Ключ к определению Коши — порядок: сначала произвольное \(\varepsilon\), затем \(\delta_\varepsilon\), затем проверка всех допустимых \(x\in D_f\) выбранной проколотой окрестности.