Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1520

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1520

Построить график функцииy=arccos⁡1−x21+x2y=\arccos\frac{1-x^2}{1+x^2}
ПостроениеФункция чётная, убывает на (−∞,0)(-\infty,0), возрастает на
(0,+∞)(0,+\infty) и имеет угловой глобальный минимум (0,0)(0,0).
Горизонтальная асимптота y=πy=\pi; множество значений [0,π)[0,\pi).

Построение

Идея

Дробь под арккосинусом принимает значения от −1-1 до 11, поскольку−1⩽1−x21+x2⩽1-1\leqslant\frac{1-x^2}{1+x^2}\leqslant1для всех x∈Rx\in\mathbb R. Поэтому функция определена на всей числовой
прямой и является чётной.
  1. 1
    Снова положим t=arctg⁡xt=\operatorname{arctg}x. Тогда1−x21+x2=cos⁡2t\frac{1-x^2}{1+x^2}=\cos2tпричём 2t∈(−π,π)2t\in(-\pi,\pi). Главная ветвь арккосинуса принимает значения
    в [0,π][0,\pi], поэтомуy=2∣t∣=2∣arctg⁡x∣y=2|t|=2|\operatorname{arctg}x|или, что равносильно,y={−2arctg⁡x,x<02arctg⁡x,x⩾0y=
    \begin{cases}
    -2\operatorname{arctg}x, & x<0\\[1mm]
    2\operatorname{arctg}x, & x\geqslant0
    \end{cases}    При x<0x<0 производная равна −21+x2-\frac2{1+x^2}, а при x>0x>0 —
    21+x2\frac2{1+x^2}. Поэтому функция убывает на (−∞,0)(-\infty,0) и возрастает
    на (0,+∞)(0,+\infty). В точке (0,0)(0,0) находится угловая точка и глобальный
    минимум; производной в нуле нет.
  2. 2
    На каждом из промежутков (−∞,0)(-\infty,0) и (0,+∞)(0,+\infty) имеемy′′=−4∣x∣(1+x2)2<0y''=-\frac{4|x|}{(1+x^2)^2}<0Следовательно, обе ветви выпуклы вверх. Точек перегиба нет.

    При x→±∞x\to\pm\inftyy⟶πy\longrightarrow\piЗначение π\pi не достигается ни при одном конечном xx, поэтому
    горизонтальная асимптота имеет вид y=πy=\pi, а множество значений равно
    [0,π)[0,\pi).
  3. 3

    Построение графика

    График симметричен относительно оси OyOy, имеет
    угловой минимум в начале координат и с обеих сторон приближается снизу к
    прямой y=πy=\pi.график к задаче Демидовича № 1520

Проверка

Ответ. Функция чётная, убывает на (−∞,0)(-\infty,0), возрастает на
(0,+∞)(0,+\infty) и имеет угловой глобальный минимум (0,0)(0,0).
Горизонтальная асимптота y=πy=\pi; множество значений [0,π)[0,\pi).
Демидович № 1520 — решение и ответ