Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1520

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1520

Построить график функцииy=arccos⁡1−x21+x2y=\arccos\frac{1-x^2}{1+x^2}
ПостроениеФункция чётная, убывает на (−∞,0)(-\infty,0), возрастает на
(0,+∞)(0,+\infty) и имеет угловой глобальный минимум (0,0)(0,0).
Горизонтальная асимптота y=πy=\pi; множество значений [0,π)[0,\pi).

Построение

Дробь под арккосинусом принимает значения в (−1,1](-1,1]: она равна −1+2/(1+x2)-1+2/(1+x^2), поэтому−1⩽1−x21+x2⩽1-1\leqslant\frac{1-x^2}{1+x^2}\leqslant1для всех x∈Rx\in\mathbb R. Поэтому функция определена на всей числовой
прямой и является чётной.
Снова положим t=arctg⁡xt=\operatorname{arctg}x. Тогда1−x21+x2=cos⁡2t\frac{1-x^2}{1+x^2}=\cos2tпричём 2t∈(−π,π)2t\in(-\pi,\pi). Главная ветвь арккосинуса принимает значения
в [0,π][0,\pi], поэтомуy=2∣t∣=2∣arctg⁡x∣y=2|t|=2|\operatorname{arctg}x|или, что равносильно,y={−2arctg⁡x,x<02arctg⁡x,x⩾0y=
\begin{cases}
-2\operatorname{arctg}x, & x<0\\[1mm]
2\operatorname{arctg}x, & x\geqslant0
\end{cases}При x<0x<0 производная равна −21+x2-\frac2{1+x^2}, а при x>0x>0 ---
21+x2\frac2{1+x^2}. Поэтому функция убывает на (−∞,0)(-\infty,0) и возрастает
на (0,+∞)(0,+\infty). В точке (0,0)(0,0) находится угловая точка и глобальный
минимум; производной в нуле нет.
На каждом из промежутков (−∞,0)(-\infty,0) и (0,+∞)(0,+\infty) имеемy′′=−4∣x∣(1+x2)2<0y''=-\frac{4|x|}{(1+x^2)^2}<0Следовательно, обе ветви выпуклы вверх. Точек перегиба нет.

При x→±∞x\to\pm\inftyy⟶πy\longrightarrow\piЗначение π\pi не достигается ни при одном конечном xx, поэтому
горизонтальная асимптота имеет вид y=πy=\pi, а множество значений равно
[0,π)[0,\pi).

Построение графика

График симметричен относительно оси OyOy, имеет
угловой минимум в начале координат и с обеих сторон приближается снизу к
прямой y=πy=\pi.график к задаче Демидовича № 1520

Ответ

Функция чётная, убывает на (−∞,0)(-\infty,0), возрастает на
(0,+∞)(0,+\infty) и имеет угловой глобальный минимум (0,0)(0,0).
Горизонтальная асимптота y=πy=\pi; множество значений [0,π)[0,\pi).

Проверка

Из кусочной формулы непосредственно получаем y(h)/h→−2y(h)/h\to-2 при h→0−h\to0- и y(h)/h→2y(h)/h\to2 при h→0+h\to0+. Поэтому в нуле две различные односторонние касательные, а производной нет.
Демидович № 1520 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика