Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1518

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1518

Построить график функцииy=xarctg⁡xy=x\operatorname{arctg}x
ПостроениеФункция чётная, убывает на (−∞,0)(-\infty,0), возрастает на
(0,+∞)(0,+\infty) и имеет глобальный минимум (0,0)(0,0). Наклонные асимптоты:
y=−π2x−1y=-\frac\pi2x-1 слева и y=π2x−1y=\frac\pi2x-1 справа.

Построение

Функция определена на R\mathbb R и является чётной:f(−x)=(−x)arctg⁡(−x)=f(x)f(-x)=(-x)\operatorname{arctg}(-x)=f(x)Кроме того, xx и arctg⁡x\operatorname{arctg}x имеют одинаковые знаки,
поэтому f(x)⩾0f(x)\geqslant0, причём равенство возможно только при x=0x=0.
Первая производная равнаy′=arctg⁡x+x1+x2y'=\operatorname{arctg}x+\frac{x}{1+x^2}Оба слагаемых отрицательны при x<0x<0 и положительны при x>0x>0.
Следовательно, функция убывает на (−∞,0)(-\infty,0) и возрастает на
(0,+∞)(0,+\infty). В начале координат достигается глобальный минимумymin⁡=f(0)=0y_{\min}=f(0)=0Вторая производная имеет особенно простой вид:y′′=2(1+x2)2>0y''=\frac{2}{(1+x^2)^2}>0По принятой терминологии график выпуклый вниз на всей числовой прямой и
точек перегиба не имеет.
Найдём коэффициенты наклонных асимптот с помощью обычных пределов. При
x→+∞x\to+\infty угловой коэффициент равенk+=lim⁡x→+∞xarctg⁡xx=π2k_+=\lim_{x\to+\infty}\frac{x\operatorname{arctg}x}{x}
=\frac\pi2а свободный член находим по правилу Лопиталя:b+=lim⁡x→+∞x(arctg⁡x−π2)=lim⁡x→+∞arctg⁡x−π21x=lim⁡x→+∞−x21+x2=−1b_+=\lim_{x\to+\infty}
x\left(\operatorname{arctg}x-\frac\pi2\right)
=\lim_{x\to+\infty}
\frac{\operatorname{arctg}x-\frac\pi2}{\frac1x}
=\lim_{x\to+\infty}-\frac{x^2}{1+x^2}=-1Аналогично, при x→−∞x\to-\inftyk−=−π2k_-=-\frac\pi2b−=lim⁡x→−∞x(arctg⁡x+π2)=lim⁡x→−∞arctg⁡x+π21x=−1b_-=\lim_{x\to-\infty}
x\left(\operatorname{arctg}x+\frac\pi2\right)
=\lim_{x\to-\infty}
\frac{\operatorname{arctg}x+\frac\pi2}{\frac1x}
=-1Таким образом, график имеет наклонные асимптотыy=π2x−1(x→+∞)y=−π2x−1(x→−∞)y=\frac\pi2x-1 \quad (x\to+\infty)
\qquad
y=-\frac\pi2x-1 \quad (x\to-\infty)и множество значений [0,+∞)[0,+\infty).

Построение графика

Благодаря чётности достаточно было бы построить
правую половину графика и отразить её относительно OyOy. На рисунке
показаны обе ветви и две симметричные наклонные асимптоты.график к задаче Демидовича № 1518

Ответ

Функция чётная, убывает на (−∞,0)(-\infty,0), возрастает на
(0,+∞)(0,+\infty) и имеет глобальный минимум (0,0)(0,0). Наклонные асимптоты:
y=−π2x−1y=-\frac\pi2x-1 слева и y=π2x−1y=\frac\pi2x-1 справа.

Проверка

Вторая производная вычисляется так:y′′=11+x2+1−x2(1+x2)2=1+x2+1−x2(1+x2)2.y''=\frac1{1+x^2}+\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}
=\frac{1+x^2+1-x^2}{(1+x^2)^2}.В пределе для свободного члена обе дроби имеют вид 0/00/0; числитель и знаменатель дифференцируемы на соответствующей полупрямой, а производная знаменателя −1/x2-1/x^2 нигде не равна нулю. Поэтому применение правила Лопиталя законно. Можно получить тот же предел из тождества arctan⁡x−π/2=−arctan⁡(1/x)\arctan x-\pi/2=-\arctan(1/x) для x>0x>0 и предела arctan⁡t/t→1\arctan t/t\to1; левую асимптоту затем даёт чётность.
Демидович № 1518 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика