Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1517

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1517

Построить график функцииy=x2+arcctg⁡xy=\frac x2+\operatorname{arcctg}x
ПостроениеФункция имеет локальный максимум
3π4−12\frac{3\pi}{4}-\frac12 при x=−1x=-1, локальный минимум
π4+12\frac\pi4+\frac12 при x=1x=1 и точку перегиба
(0,π2)\left(0,\frac\pi2\right). Единственный нуль
α≈−5,950\alpha\approx-5{,}950. Асимптоты:
y=x2+πy=\frac x2+\pi слева и y=x2y=\frac x2 справа.

Построение

Идея

Будем использовать школьное соглашениеarcctg⁡x∈(0,π)\operatorname{arcctg}x\in(0,\pi)Тогда функция определена на всей числовой прямой иarcctg⁡(−x)=π−arcctg⁡x\operatorname{arcctg}(-x)=\pi-\operatorname{arcctg}xПоэтомуf(−x)=π−f(x)f(-x)=\pi-f(x)График имеет центр симметрии(0,π2)\left(0,\frac\pi2\right)
  1. 1
    Производная равнаy′=12−11+x2=x2−12(1+x2)y'=\frac12-\frac1{1+x^2}
    =\frac{x^2-1}{2(1+x^2)}    Отсюда функция возрастает на (−∞,−1)(-\infty,-1) и (1,+∞)(1,+\infty) и убывает
    на (−1,1)(-1,1). В точке x=−1x=-1 достигается локальный максимумy(−1)=3π4−12y(-1)=\frac{3\pi}{4}-\frac12а в точке x=1x=1 — локальный минимумy(1)=π4+12y(1)=\frac\pi4+\frac12Вторая производная имеет видy′′=2x(1+x2)2y''=\frac{2x}{(1+x^2)^2}Поэтому график выпуклый вверх при x<0x<0, выпуклый вниз при x>0x>0, а
    точка(0,π2)\left(0,\frac\pi2\right)является точкой перегиба.

    При x→+∞x\to+\infty значение arcctg⁡x\operatorname{arcctg}x стремится к нулю,
    а при x→−∞x\to-\infty — к π\pi. Следовательно, наклонные асимптоты
    имеют видy=x2(x→+∞)y=\frac x2 \quad (x\to+\infty)y=x2+π(x→−∞)y=\frac x2+\pi \quad (x\to-\infty)Так как функция возрастает на (−∞,−1)(-\infty,-1) от −∞-\infty до
    положительного значения, на этом промежутке имеется ровно один нуль.
    Обозначим его через α\alpha. Он является единственным решением уравненияx2+arcctg⁡x=0\frac x2+\operatorname{arcctg}x=0Метод половинного деления, например на отрезке [−6,−5][-6,-5], даётα≈−5,950\alpha\approx-5{,}950На остальных промежутках функция положительна. Поскольку на концах
    числовой прямой она стремится соответственно к −∞-\infty и +∞+\infty,
    её множество значений равно R\mathbb R.
  2. 2

    Построение графика

    На рисунке отмечены единственный нуль, локальные
    экстремумы и центр симметрии. Пунктирные прямые являются наклонными
    асимптотами.график к задаче Демидовича № 1517

Проверка

Ответ. Функция имеет локальный максимум
3π4−12\frac{3\pi}{4}-\frac12 при x=−1x=-1, локальный минимум
π4+12\frac\pi4+\frac12 при x=1x=1 и точку перегиба
(0,π2)\left(0,\frac\pi2\right). Единственный нуль
α≈−5,950\alpha\approx-5{,}950. Асимптоты:
y=x2+πy=\frac x2+\pi слева и y=x2y=\frac x2 справа.
Демидович № 1517 — решение и ответ