Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1516

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1516

Построить график функцииy=x+arctg⁡xy=x+\operatorname{arctg}x
ПостроениеФункция строго возрастает на R\mathbb R, имеет единственный
нуль и точку перегиба (0,0)(0,0). Наклонные асимптоты:
y=x−π2y=x-\frac\pi2 при x→−∞x\to-\infty и
y=x+π2y=x+\frac\pi2 при x→+∞x\to+\infty.

Построение

Идея

Функция определена на всей числовой прямой. Она нечётная, поскольку
сумма двух нечётных функций также нечётна:f(−x)=−x+arctg⁡(−x)=−f(x)f(-x)=-x+\operatorname{arctg}(-x)=-f(x)Поэтому график симметричен относительно начала координат.
  1. 1
    Найдём производную:y′=1+11+x2=x2+2x2+1>0y'=1+\frac1{1+x^2}=\frac{x^2+2}{x^2+1}>0Функция строго возрастает на R\mathbb R, поэтому экстремумов не имеет.
    Кроме того, f(0)=0f(0)=0, и вследствие строгого возрастания это единственный
    нуль функции. Так какlim⁡x→−∞f(x)=−∞lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty
    \qquad
    \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty    множество значений равно R\mathbb R.

    Вторая производная имеет видy′′=−2x(1+x2)2y''=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}При x<0x<0 она положительна, а при x>0x>0 отрицательна. Следовательно,
    график выпуклый вниз на (−∞,0)(-\infty,0), выпуклый вверх на
    (0,+∞)(0,+\infty), а точка (0,0)(0,0) является точкой перегиба.

    Исследуем поведение на бесконечности. Посколькуlim⁡x→+∞arctg⁡x=π2lim⁡x→−∞arctg⁡x=−π2\lim_{x\to+\infty}\operatorname{arctg}x=\frac\pi2
    \qquad
    \lim_{x\to-\infty}\operatorname{arctg}x=-\frac\pi2    получаем две наклонные асимптоты:y=x+π2(x→+∞)y=x+\frac\pi2 \quad (x\to+\infty)y=x−π2(x→−∞)y=x-\frac\pi2 \quad (x\to-\infty)
  2. 2

    Построение графика

    График проходит через начало координат, всюду строго
    возрастает и приближается к двум параллельным наклонным асимптотам.
    Пунктиром показаны соответствующие асимптоты.график к задаче Демидовича № 1516

Проверка

Ответ. Функция строго возрастает на R\mathbb R, имеет единственный
нуль и точку перегиба (0,0)(0,0). Наклонные асимптоты:
y=x−π2y=x-\frac\pi2 при x→−∞x\to-\infty и
y=x+π2y=x+\frac\pi2 при x→+∞x\to+\infty.
Демидович № 1516 — решение и ответ