Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1514

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1514

Построить график функцииy=x2+1 ln⁡(x+x2+1)y=\sqrt{x^2+1}\,\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)
ПостроениеФункция определена на R\mathbb R, нечётна и строго
возрастает; её множество значений равно R\mathbb R. Точка
(0,0)(0,0) является точкой перегиба, а касательная в ней имеет уравнение
y=xy=x. Асимптот нет.

Построение

Оба множителя определены при всех x∈Rx\in\mathbb R. Обозначимs=x2+1,a=ln⁡(x+x2+1)=arsh⁡xs=\sqrt{x^2+1},
\qquad
a=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)=\operatorname{arsh}xФункция ss чётная, а функция aa нечётная. Поэтому их произведение
нечётно, и график симметричен относительно начала координат.
Так какs′=xss'=\frac{x}{s}а производная aa непосредственно вычисляется так:a′=1+xsx+s=1s\begin{aligned}
a'&=\frac{1+\dfrac{x}{s}}{x+s}
=\frac1s
\end{aligned}первая производная равнаy′=xsa+s1s==1+xarsh⁡xx2+1\begin{aligned}
y'&=\frac{x}{s}a+s\frac1s=\\
&=1+\frac{x\operatorname{arsh}x}{\sqrt{x^2+1}}
\end{aligned}При любом xx произведение xarsh⁡xx\operatorname{arsh}x неотрицательно.
Следовательно, y′⩾1>0y'\geqslant1>0, и функция строго возрастает на всей
числовой прямой. Экстремумов нет.

Вторая производная имеет видy′′=arsh⁡x(x2+1)32+xx2+1==arsh⁡x+xx2+1(x2+1)32\begin{aligned}
y''&=\frac{\operatorname{arsh}x}{(x^2+1)^{\frac32}}
+\frac{x}{x^2+1}=\\
&=\frac{\operatorname{arsh}x+x\sqrt{x^2+1}}
{(x^2+1)^{\frac32}}
\end{aligned}При x>0x>0 числитель положителен, а при x<0x<0 отрицателен. Поэтому
на (−∞,0)(-\infty,0) график выпуклый вверх, на (0,+∞)(0,+\infty) ---
вниз, а точка (0,0)(0,0) является точкой перегиба. Поскольку y′(0)=1y'(0)=1,
касательная в ней имеет уравнение y=xy=x.

При x→+∞x\to+\inftyy∼xln⁡(2x)→+∞y\sim x\ln(2x)\to+\inftyа при x→−∞x\to-\infty по нечётности y→−∞y\to-\infty. Поэтому множество
значений равно R\mathbb R, а линейных асимптот нет.

Построение графика

Строим нечётную строго возрастающую кривую. Она
проходит через начало координат, где имеет точку перегиба и касательную
y=xy=x; вдали от нуля её рост быстрее линейного.график к задаче Демидовича № 1514

Ответ

Функция определена на R\mathbb R, нечётна и строго
возрастает; её множество значений равно R\mathbb R. Точка
(0,0)(0,0) является точкой перегиба, а касательная в ней имеет уравнение
y=xy=x. Асимптот нет.

Проверка

Из s=x2+1s=\sqrt{x^2+1} следует (x/s)′=(s−xs′)/s2=(s2−x2)/s3=1/s3(x/s)'=(s-xs')/s^2=(s^2-x^2)/s^3=1/s^3. Поэтому производная xa/sxa/s равна a/s3+x/s2a/s^3+x/s^2, что даёт указанное выражение y′′y''.

При x→+∞x\to+\infty имеем s/x→1s/x\to1 и a−ln⁡(2x)→0a-\ln(2x)\to0 по вычислению предыдущей задачи. Значит, y/x=(s/x)a→+∞y/x=(s/x)a\to+\infty, и конечного коэффициента прямой асимптоты нет. По нечётности такой асимптоты нет и слева.
Демидович № 1514 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика