Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1514

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1514

Построить график функцииy=x2+1 ln⁡(x+x2+1)y=\sqrt{x^2+1}\,\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)
ПостроениеФункция определена на R\mathbb R, нечётна и строго
возрастает; её множество значений равно R\mathbb R. Точка
(0,0)(0,0) является точкой перегиба, а касательная в ней имеет уравнение
y=xy=x. Асимптот нет.

Построение

Идея

Оба множителя определены при всех x∈Rx\in\mathbb R. Обозначимs=x2+1,a=ln⁡(x+x2+1)=arsh⁡xs=\sqrt{x^2+1},
\qquad
a=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)=\operatorname{arsh}xФункция ss чётная, а функция aa нечётная. Поэтому их произведение
нечётно, и график симметричен относительно начала координат.
  1. 1
    Так какs′=xss'=\frac{x}{s}а производная aa непосредственно вычисляется так:a′=1+xsx+s=1s\begin{aligned}
    a'&=\frac{1+\dfrac{x}{s}}{x+s}
    =\frac1s
    \end{aligned}    первая производная равнаy′=xsa+s1s==1+xarsh⁡xx2+1\begin{aligned}
    y'&=\frac{x}{s}a+s\frac1s=\\
    &=1+\frac{x\operatorname{arsh}x}{\sqrt{x^2+1}}
    \end{aligned}    При любом xx произведение xarsh⁡xx\operatorname{arsh}x неотрицательно.
    Следовательно, y′⩾1>0y'\geqslant1>0, и функция строго возрастает на всей
    числовой прямой. Экстремумов нет.

    Вторая производная имеет видy′′=arsh⁡x(x2+1)32+xx2+1==arsh⁡x+xx2+1(x2+1)32\begin{aligned}
    y''&=\frac{\operatorname{arsh}x}{(x^2+1)^{\frac32}}
    +\frac{x}{x^2+1}=\\
    &=\frac{\operatorname{arsh}x+x\sqrt{x^2+1}}
    {(x^2+1)^{\frac32}}
    \end{aligned}    При x>0x>0 числитель положителен, а при x<0x<0 отрицателен. Поэтому
    на (−∞,0)(-\infty,0) график выпуклый вверх, на (0,+∞)(0,+\infty) —
    вниз, а точка (0,0)(0,0) является точкой перегиба. Поскольку y′(0)=1y'(0)=1,
    касательная в ней имеет уравнение y=xy=x.

    При x→+∞x\to+\inftyy∼xln⁡(2x)→+∞y\sim x\ln(2x)\to+\inftyа при x→−∞x\to-\infty по нечётности y→−∞y\to-\infty. Поэтому множество
    значений равно R\mathbb R, а линейных асимптот нет.
  2. 2

    Построение графика

    Строим нечётную строго возрастающую кривую. Она
    проходит через начало координат, где имеет точку перегиба и касательную
    y=xy=x; вдали от нуля её рост быстрее линейного.график к задаче Демидовича № 1514

Проверка

Ответ. Функция определена на R\mathbb R, нечётна и строго
возрастает; её множество значений равно R\mathbb R. Точка
(0,0)(0,0) является точкой перегиба, а касательная в ней имеет уравнение
y=xy=x. Асимптот нет.
Демидович № 1514 — решение и ответ