Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1513

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1513

Построить график функцииy=ln⁡(x+x2+1)y=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)
ПостроениеФункция определена и строго возрастает на R\mathbb R,
нечётна и имеет множество значений R\mathbb R. Точка (0,0)(0,0) —
точка перегиба; касательная в ней задаётся уравнением y=xy=x. Асимптот
нет.

Построение

Для любого действительного xxx2+1>∣x∣\sqrt{x^2+1}>|x|поэтому x+x2+1>0x+\sqrt{x^2+1}>0, и логарифм определён на всей числовой
прямой. Эта функция является обратным гиперболическим синусом:y=arsh⁡xy=\operatorname{arsh}xПроверим нечётность. Используя(x2+1−x)(x2+1+x)=1\bigl(\sqrt{x^2+1}-x\bigr)
\bigl(\sqrt{x^2+1}+x\bigr)=1получаемy(−x)=ln⁡(x2+1−x)==ln⁡1x2+1+x=−y(x)\begin{aligned}
y(-x)&=\ln\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=\\
&=\ln\frac1{\sqrt{x^2+1}+x}=-y(x)
\end{aligned}Значит, график симметричен относительно начала координат и проходит через
точку (0,0)(0,0).
Первую производную найдём непосредственно из исходной формулы:y′=1+xx2+1x+x2+1==1x2+1>0\begin{aligned}
y'&=\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}
{x+\sqrt{x^2+1}}=\\
&=\frac1{\sqrt{x^2+1}}>0
\end{aligned}Отсюдаy′′=−x(x2+1)32y''=-\frac{x}{(x^2+1)^{\frac32}}Функция строго возрастает на R\mathbb R, поэтому экстремумов нет.
При x<0x<0 имеем y′′>0y''>0, и график выпуклый вниз; при x>0x>0
имеем y′′<0y''<0, и график выпуклый вверх. В точке (0,0)(0,0) направление
выпуклости меняется, поэтому это точка перегиба. Касательная в ней имеет
угловой коэффициент y′(0)=1y'(0)=1.

При x→+∞x\to+\inftyy=ln⁡(2x)+o(1)→+∞y=\ln(2x)+o(1)\to+\inftyа по нечётности при x→−∞x\to-\infty функция стремится к −∞-\infty.
Линейных асимптот нет.

Построение графика

Строим нечётную, всюду возрастающую кривую через
начало координат. В нуле находится точка перегиба с касательной y=xy=x.график к задаче Демидовича № 1513

Ответ

Функция определена и строго возрастает на R\mathbb R,
нечётна и имеет множество значений R\mathbb R. Точка (0,0)(0,0) ---
точка перегиба; касательная в ней задаётся уравнением y=xy=x. Асимптот
нет.

Проверка

При x>0x>0 разность с логарифмической кривой равнаy−ln⁡(2x)=ln⁡1+1+x−22⟶ln⁡1=0.y-\ln(2x)=\ln\frac{1+\sqrt{1+x^{-2}}}{2}\longrightarrow\ln1=0.При этом y/x→0y/x\to0, поскольку ln⁡(2x)/x→0\ln(2x)/x\to0. Возможная прямая асимптота должна быть горизонтальной, но y→+∞y\to+\infty, поэтому её нет. Слева тот же вывод следует из нечётности. Речь здесь именно об отсутствии прямых асимптот.
Демидович № 1513 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика