Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1512

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1512

Построить график функцииy=ln⁡xxy=\frac{\ln x}{\sqrt x}
ПостроениеОбласть определения равна (0,+∞)(0,+\infty). Функция
возрастает на (0,e2)(0,e^2), убывает на (e2,+∞)(e^2,+\infty) и имеет
максимум 2e\frac2e при x=e2x=e^2. Точка перегиба:(e83,83e43)\left(e^{\frac83},\frac8{3e^{\frac43}}\right)Асимптоты: x=0x=0 и y=0y=0 при x→+∞x\to+\infty.

Построение

Логарифм и квадратный корень требуют x>0x>0, причём корень находится в
знаменателе. ПоэтомуD=(0,+∞)D=(0,+\infty)При x=1x=1 функция обращается в нуль. Её предельное поведение имеет видlim⁡x→0+ln⁡xx=−∞,lim⁡x→+∞ln⁡xx=0+\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\sqrt x}=-\infty,
\qquad
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt x}=0^+Во втором пределе можно положить x=t2x=t^2: тогда выражение принимает
вид 2ln⁡tt\frac{2\ln t}{t}, который стремится к нулю. Следовательно,
x=0x=0 является вертикальной асимптотой, совпадающей с осью OyOy, а
y=0y=0 --- горизонтальной асимптотой при x→+∞x\to+\infty.
Первая производная равнаy′=1xx−12−12ln⁡x x−32==2−ln⁡x2x32\begin{aligned}
y'&=\frac1x x^{-\frac12}-\frac12\ln x\,x^{-\frac32}=\\
&=\frac{2-\ln x}{2x^{\frac32}}
\end{aligned}Знаменатель положителен. Производная положительна при 0<x<e20<x<e^2 и
отрицательна при x>e2x>e^2. Поэтому функция возрастает на
(0,e2)(0,e^2), убывает на (e2,+∞)(e^2,+\infty) и достигает максимумаy(e2)=2ey(e^2)=\frac2eВторая производная имеет видy′′=3ln⁡x−84x52y''=\frac{3\ln x-8}{4x^{\frac52}}Она меняет знак приx=e83x=e^{\frac83}Ордината точки перегиба равнаy(e83)=83e43y(e^{\frac83})=\frac{8}{3e^{\frac43}}На (0,e83)(0,e^{\frac83}) график выпуклый вверх, а на
(e83,+∞)(e^{\frac83},+\infty) --- выпуклый вниз.

Построение графика

Левая ветвь уходит вниз вдоль оси OyOy, пересекает
ось OxOx в точке (1,0)(1,0), достигает максимума
(e2,2e)\left(e^2,\frac2e\right), проходит через точку перегиба и медленно
приближается сверху к оси OxOx.график к задаче Демидовича № 1512

Чтобы на рисунке различались убывание после максимума и смена направления выпуклости,
дадим увеличенный фрагмент.график к задаче Демидовича № 1512

Ответ

Область определения равна (0,+∞)(0,+\infty). Функция
возрастает на (0,e2)(0,e^2), убывает на (e2,+∞)(e^2,+\infty) и имеет
максимум 2e\frac2e при x=e2x=e^2. Точка перегиба:(e83,83e43)\left(e^{\frac83},\frac8{3e^{\frac43}}\right)Асимптоты: x=0x=0 и y=0y=0 при x→+∞x\to+\infty.

Проверка

Дифференцируя y′=(2−ln⁡x)x−3/2/2y'=(2-\ln x)x^{-3/2}/2, получаемy′′=−12x−5/2−34(2−ln⁡x)x−5/2=−2−6+3ln⁡x4x5/2.y''=-\frac12x^{-5/2}-\frac34(2-\ln x)x^{-5/2}
=\frac{-2-6+3\ln x}{4x^{5/2}}.Так появляется постоянная 88 в числителе. При x=e8/3x=e^{8/3} знаменатель исходной функции равен e4/3e^{4/3}, а числитель — 8/38/3, что даёт указанную ординату перегиба.
Демидович № 1512 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика