Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1510

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1510

Построить график функцииy=ex1+xy=\frac{e^x}{1+x}
ПостроениеОбласть определения:D=R∖{−1}D=\mathbb R\setminus\{-1\}Вертикальная асимптота имеет уравнение x=−1x=-1, горизонтальная
асимптота при x→−∞x\to-\infty — y=0y=0. Функция убывает на
(−∞,−1)(-\infty,-1) и (−1,0)(-1,0), возрастает на (0,+∞)(0,+\infty) и имеет
минимум правой ветви y(0)=1y(0)=1. Множество значений:E=(−∞,0)∪[1,+∞)E=(-\infty,0)\cup[1,+\infty)

Построение

Знаменатель не должен обращаться в нуль, поэтомуD=R∖{−1}D=\mathbb R\setminus\{-1\}Числитель положителен. Следовательно, y<0y<0 при x<−1x<-1, а
y>0y>0 при x>−1x>-1. Нулей у функции нет, и y(0)=1y(0)=1.
Пределы у исключённой точки равныlim⁡x→−1−ex1+x=−∞,lim⁡x→−1+ex1+x=+∞\lim_{x\to-1^-}\frac{e^x}{1+x}=-\infty,
\qquad
\lim_{x\to-1^+}\frac{e^x}{1+x}=+\inftyпоэтому x=−1x=-1 является вертикальной асимптотой. Кроме того,lim⁡x→−∞ex1+x=0−\lim_{x\to-\infty}\frac{e^x}{1+x}=0^-Значит, y=0y=0 --- горизонтальная асимптота левой ветви.
Найдём первую производную:y′=xex(1+x)2y'=\frac{xe^x}{(1+x)^2}Её знак совпадает со знаком xx. Поэтому функция убывает на каждом из
промежутков (−∞,−1)(-\infty,-1) и (−1,0)(-1,0), а на (0,+∞)(0,+\infty)
возрастает. На правой ветви в точке x=0x=0 достигается минимум
y=1y=1. Левая ветвь убывает от 00 до −∞-\infty.

Вторая производная равнаy′′=ex(x2+1)(1+x)3y''=\frac{e^x(x^2+1)}{(1+x)^3}Числитель положителен, поэтому при x<−1x<-1 имеем y′′<0y''<0, а при
x>−1x>-1 имеем y′′>0y''>0. Левая ветвь выпукла вверх, правая --- вниз.
Точек перегиба нет, поскольку x=−1x=-1 не входит в область определения.

Построение графика

Строим две ветви, разделённые вертикальной асимптотой
x=−1x=-1. Левая ветвь приближается к оси OxOx при
x→−∞x\to-\infty, правая имеет минимум (0,1)(0,1) и затем уходит вверх.график к задаче Демидовича № 1510

Ответ

Область определения:D=R∖{−1}D=\mathbb R\setminus\{-1\}Вертикальная асимптота имеет уравнение x=−1x=-1, горизонтальная
асимптота при x→−∞x\to-\infty --- y=0y=0. Функция убывает на
(−∞,−1)(-\infty,-1) и (−1,0)(-1,0), возрастает на (0,+∞)(0,+\infty) и имеет
минимум правой ветви y(0)=1y(0)=1. Множество значений:E=(−∞,0)∪[1,+∞)E=(-\infty,0)\cup[1,+\infty)

Проверка

По правилу частного y′=[ex(1+x)−ex]/(1+x)2=xex/(1+x)2y'=[e^x(1+x)-e^x]/(1+x)^2=xe^x/(1+x)^2. Следующее дифференцирование даётy′′=ex[(x+1)2−2x](x+1)3=ex(x2+1)(x+1)3.y''=\frac{e^x[(x+1)^2-2x]}{(x+1)^3}=\frac{e^x(x^2+1)}{(x+1)^3}.Справа ex/(1+x)→+∞e^x/(1+x)\to+\infty по преобладанию экспоненты над степенью; вместе с непрерывностью и минимумом это обосновывает множество значений правой ветви [1,+∞)[1,+\infty).
Демидович № 1510 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика