Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1510

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1510

Построить график функции

y=\frac{e^x}{1+x}

ПостроениеОбласть определения:

D=\mathbb R\setminus\{-1\}

Вертикальная асимптота имеет уравнение

x=-1

, горизонтальная
асимптота при

x\to-\infty

—

y=0

. Функция убывает на

(-\infty,-1)

(-1,0)

, возрастает на

(0,+\infty)

и имеет
минимум правой ветви

y(0)=1

. Множество значений:

E=(-\infty,0)\cup[1,+\infty)

Построение

Идея

Знаменатель не должен обращаться в нуль, поэтому

D=\mathbb R\setminus\{-1\}

Числитель положителен. Следовательно,

y<0

при

x<-1

, а

y>0

при

x>-1

. Нулей у функции нет, и

y(0)=1

1
Пределы у исключённой точки равны $\lim_{x\to-1^-}\frac{e^x}{1+x}=-\infty,\qquad\lim_{x\to-1^+}\frac{e^x}{1+x}=+\infty$ поэтому $x=-1$ является вертикальной асимптотой. Кроме того, $\lim_{x\to-\infty}\frac{e^x}{1+x}=0^-$ Значит, $y=0$ — горизонтальная асимптота левой ветви.
2
Найдём первую производную: $y'=\frac{xe^x}{(1+x)^2}$ Её знак совпадает со знаком $x$ . Поэтому функция убывает на каждом из
промежутков $(-\infty,-1)$ и $(-1,0)$ , а на $(0,+\infty)$
возрастает. На правой ветви в точке $x=0$ достигается минимум
$y=1$ . Левая ветвь убывает от $0$ до $-\infty$ .

Вторая производная равна $y''=\frac{e^x(x^2+1)}{(1+x)^3}$ Числитель положителен, поэтому при $x<-1$ имеем $y''<0$ , а при
$x>-1$ имеем $y''>0$ . Левая ветвь выпукла вверх, правая — вниз.
Точек перегиба нет, поскольку $x=-1$ не входит в область определения.
3
Построение графика
Строим две ветви, разделённые вертикальной асимптотой
$x=-1$ . Левая ветвь приближается к оси $Ox$ при
$x\to-\infty$ , правая имеет минимум $(0,1)$ и затем уходит вверх. $график к задаче Демидовича № 1510$

Проверка

Ответ. Область определения:

D=\mathbb R\setminus\{-1\}