Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1509

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1509

Построить графики функций:а) y=x23e−x\text{а) }y=x^{\frac23}e^{-x}б) y=e−2xsin⁡2x\text{б) }y=e^{-2x}\sin^2x
Построениеа) Абсолютный минимум и остриё (0,0)(0,0); локальный максимум ((2/3),(2/3)2/3e−2/3)((2/3),(2/3)^{2/3}e^{-2/3}). Функция убывает на (−∞,0)(-\infty,0) и (2/3,+∞)(2/3,+\infty), возрастает на (0,2/3)(0,2/3). Перегибы при x=(2±6)/3x=(2\pm\sqrt6)/3, горизонтальная асимптота справа y=0y=0. б) Абсолютные минимумы (kπ,0)(k\pi,0); локальные максимумы (π/4+kπ,e−π/2−2kπ/2)(\pi/4+k\pi,e^{-\pi/2-2k\pi}/2). Перегибы при x=π/12+kπx=\pi/12+k\pi и x=5π/12+kπx=5\pi/12+k\pi, k∈Zk\in\mathbb Z. Функция непериодическая, асимптота справа y=0y=0.

Построение

Пункт а)

Для действительных xx понимаемx23=(x3)2=∣x∣23x^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{x}\right)^2=|x|^{\frac23}Поэтому функция определена на всей числовой прямой, неотрицательна и
обращается в нуль только при x=0x=0. Кроме того,lim⁡x→−∞∣x∣23e−x=+∞,lim⁡x→+∞x23e−x=0\lim_{x\to-\infty}|x|^{\frac23}e^{-x}=+\infty,
\qquad
\lim_{x\to+\infty}x^{\frac23}e^{-x}=0Следовательно, y=0y=0 является горизонтальной асимптотой при
x→+∞x\to+\infty.

При x≠0x\ne0y′=e−x(23x−13−x23)==e−xx−13(23−x)\begin{aligned}
y'&=e^{-x}\left(\frac23x^{-\frac13}-x^{\frac23}\right)=\\
&=e^{-x}x^{-\frac13}\left(\frac23-x\right)
\end{aligned}При x<0x<0 производная отрицательна. При 0<x<230<x<\frac23 она
положительна, а при x>23x>\frac23 снова отрицательна. Значит, функция
убывает на (−∞,0)(-\infty,0), возрастает на (0,23)\left(0,\frac23\right)
и убывает на (23,+∞)\left(\frac23,+\infty\right). В точке x=0x=0
достигается абсолютный минимум 00, а при x=23x=\frac23 --- локальный
максимумy(23)=(23)23e−23y\left(\frac23\right)
=\left(\frac23\right)^{\frac23}e^{-\frac23}В нуле обычной производной нет. Действительно,y(h)−y(0)h=e−hh−13\frac{y(h)-y(0)}h=e^{-h}h^{-\frac13}поэтомуlim⁡h→0−y(h)−y(0)h=−∞,lim⁡h→0+y(h)−y(0)h=+∞\lim_{h\to0^-}\frac{y(h)-y(0)}h=-\infty,
\qquad
\lim_{h\to0^+}\frac{y(h)-y(0)}h=+\inftyГрафик имеет в начале координат остриё с вертикальной касательной
x=0x=0.

Для x≠0x\ne0 вторая производная равнаy′′=e−x9∣x∣43(9x2−12x−2)y''=\frac{e^{-x}}{9|x|^{\frac43}}\left(9x^2-12x-2\right)Знаменатель здесь положителен. Корни квадратного трёхчлена обозначимx−=2−63,x+=2+63x_-=\frac{2-\sqrt6}{3},
\qquad
x_+=\frac{2+\sqrt6}{3}Имеем x−<0<x+x_-<0<x_+. Вторая производная положительна при
x<x−x<x_- и x>x+x>x_+, отрицательна на (x−,0)(x_-,0) и (0,x+)(0,x_+).
Следовательно, точки с абсциссами x−x_- и x+x_+ являются точками
перегиба. В нуле знак второй производной не меняется, поэтому остриё не
является точкой перегиба.

Построение графика

На общем рисунке видны рост функции при движении
влево и затухание при x→+∞x\to+\infty. Следующее увеличение показывает
остриё в нуле, близкую левую точку перегиба и локальный максимум.
график к задаче Демидовича № 1509график к задаче Демидовича № 1509

Ответ

Функция убывает на (−∞,0)(-\infty,0), возрастает на
(0,23)\left(0,\frac23\right) и убывает на
(23,+∞)\left(\frac23,+\infty\right). В точке (0,0)(0,0) находится
абсолютный минимум и остриё с вертикальной касательной. Локальный максимум:(23,(23)23e−23)\left(\frac23,\left(\frac23\right)^{\frac23}e^{-\frac23}\right)Абсциссы точек перегиба равныx−=2−63,x+=2+63x_-=\frac{2-\sqrt6}{3},
\qquad
x_+=\frac{2+\sqrt6}{3}При x→+∞x\to+\infty горизонтальная асимптота имеет уравнение y=0y=0.

Пункт б)

Функция определена и неотрицательна на R\mathbb R. Её
нули находятся из равенства sin⁡x=0\sin x=0:x=kπ,k∈Zx=k\pi,
\qquad
k\in\mathbb ZВ каждой такой точке достигается локальный минимум 00.

Производная равнаy′=−2e−2xsin⁡2x+2e−2xsin⁡xcos⁡x==2e−2xsin⁡x(cos⁡x−sin⁡x)\begin{aligned}
y'&=-2e^{-2x}\sin^2x+2e^{-2x}\sin x\cos x=\\
&=2e^{-2x}\sin x(\cos x-\sin x)
\end{aligned}Кроме точек kπk\pi, она обращается в нуль при cos⁡x=sin⁡x\cos x=\sin x, то
есть приx=π4+kπ,k∈Zx=\frac\pi4+k\pi,
\qquad
k\in\mathbb ZНа каждом промежутке (kπ,(k+1)π)(k\pi,(k+1)\pi) функция положительна, а на
концах равна нулю, поэтому единственная внутренняя критическая точка
является точкой локального максимума. Его значение равноy(π4+kπ)=12e−π2−2kπy\left(\frac\pi4+k\pi\right)
=\frac12e^{-\frac\pi2-2k\pi}Таким образом, при переходе к следующему максимуму слева направо высота
уменьшается в e2πe^{2\pi} раз.
Функция не является периодической. Если бы T>0T>0 было периодом, то
перенос на TT сохранял бы множество нулей πZ\pi\mathbb Z, откуда
T=mπT=m\pi для некоторого m∈Nm\in\mathbb N. Но тогдаy(x+mπ)=e−2mπy(x)≠y(x)y(x+m\pi)=e^{-2m\pi}y(x)\ne y(x)при y(x)≠0y(x)\ne0, что невозможно.

Вторая производная имеет особенно простой вид:y′′=2e−2x(1−2sin⁡2x)y''=2e^{-2x}(1-2\sin2x)Точки перегиба задаются равенствамиx=π12+kπ,x=5π12+kπ,k∈Zx=\frac\pi{12}+k\pi,
\qquad
x=\frac{5\pi}{12}+k\pi,
\qquad
k\in\mathbb ZВ них y′′y'' меняет знак. График выпуклый вниз там, где
sin⁡2x<12\sin2x<\frac12, и выпуклый вверх там, где
sin⁡2x>12\sin2x>\frac12.

Наконец,0⩽y⩽e−2x0\leqslant y\leqslant e^{-2x}Поэтому y→0y\to0 при x→+∞x\to+\infty, и y=0y=0 является
горизонтальной асимптотой справа. При x→−∞x\to-\infty нули сохраняются,
а высоты максимумов неограниченно возрастают, поэтому предела функции
нет.

Построение графика

Первый рисунок показывает конечный фрагмент с резко
возрастающими влево амплитудами. На его масштабе положительная дуга между
00 и π\pi почти сливается с осью OxOx, поэтому на втором рисунке
дано её увеличение. Колебания продолжаются в обе стороны; справа их
высоты стремятся к нулю.график к задаче Демидовича № 1509

Ответ

Нули и локальные минимумы находятся в точках x=kπx=k\pi.
Локальные максимумы имеют координаты(π4+kπ,12e−π2−2kπ),k∈Z\left(\frac\pi4+k\pi,\frac12e^{-\frac\pi2-2k\pi}\right),
\qquad
k\in\mathbb ZТочки перегиба имеют абсциссыx=π12+kπ,x=5π12+kπ,k∈Zx=\frac\pi{12}+k\pi,
\qquad
x=\frac{5\pi}{12}+k\pi,
\qquad
k\in\mathbb ZФункция непериодична, а при x→+∞x\to+\infty имеет горизонтальную
асимптоту y=0y=0.

Проверка

В пункте а) дифференцируем e−x[(2/3)x−1/3−x2/3]e^{-x}[(2/3)x^{-1/3}-x^{2/3}]. После вынесения e−xx−4/3e^{-x}x^{-4/3} скобка равна x2−(4/3)x−2/9x^2-(4/3)x-2/9, то есть (9x2−12x−2)/9(9x^2-12x-2)/9. Корни: x=[12±144+72]/18=(2±6)/3x=[12\pm\sqrt{144+72}]/18=(2\pm\sqrt6)/3.

В пункте б) положим s=sin⁡xs=\sin x, c=cos⁡xc=\cos x. Из y′=2e−2x(sc−s2)y'=2e^{-2x}(sc-s^2) получаемy′′=2e−2x[−2sc+2s2+c2−s2−2sc]=2e−2x(s2+c2−4sc)=2e−2x(1−2sin⁡2x).y''=2e^{-2x}[-2sc+2s^2+c^2-s^2-2sc]
=2e^{-2x}(s^2+c^2-4sc)=2e^{-2x}(1-2\sin2x).На каждом (kπ,kπ+π/4)(k\pi,k\pi+\pi/4) функция возрастает, на (kπ+π/4,(k+1)π)(k\pi+\pi/4,(k+1)\pi) убывает. Нулевые минимумы являются также абсолютными, а абсолютного максимума нет: при k→−∞k\to-\infty высоты локальных максимумов неограниченно возрастают.
Демидович № 1509 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика