Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1508

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить график функции

y=x+e^{-x}

ПостроениеФункция убывает на

(-\infty,0)

, возрастает на

(0,+\infty)

и имеет минимум

y(0)=1

. Она выпукла вниз на

\mathbb R

, точек перегиба не имеет. При

x\to+\infty

наклонная
асимптота задаётся уравнением

y=x

Построение

Область определения функции --- вся числовая прямая. Найдём производные:

y'=1-e^{-x},\qquady''=e^{-x}>0

Равенство

y'=0

выполняется только при

x=0

. Если

x<0

, то

e^{-x}>1

y'<0

; если

x>0

, то

e^{-x}<1

y'>0

.
Следовательно, функция убывает на

(-\infty,0)

, возрастает на

(0,+\infty)

и достигает наименьшего значения

y(0)=1

Так как

y''>0

на всей числовой прямой, график всюду выпуклый вниз и
точек перегиба нет. В частности,

y\geqslant1

, поэтому пересечений с
осью

Ox

нет.

На концах числовой прямой

\lim_{x\to-\infty}(x+e^{-x})=+\infty,\qquad\lim_{x\to+\infty}(x+e^{-x})=+\infty

При

x\to+\infty

y-x=e^{-x}\to0

поэтому прямая

y=x

является наклонной асимптотой правой ветви.
При

x\to-\infty

экспоненциальное слагаемое растёт, поэтому линейной
асимптоты нет.

Отмечаем минимум

(0,1)

. Справа график
приближается к пунктирной прямой

y=x

, оставаясь выше неё; слева
быстро уходит вверх. $график к задаче Демидовича № 1508$

Функция убывает на

(-\infty,0)

, возрастает на

(0,+\infty)

и имеет минимум

y(0)=1

. Она выпукла вниз на

\mathbb R

, точек перегиба не имеет. При

x\to+\infty

наклонная
асимптота задаётся уравнением

y=x

Проверка

При

x=-t\to-\infty

имеем

y=e^t-t=e^t(1-t/e^t)\to+\infty

, поскольку

t/e^t\to0

. При этом

y/x=1-e^t/t\to-\infty

. Конечного углового коэффициента прямой асимптоты слева поэтому не существует.