Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1508

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить график функции

y=x+e^{-x}

ПостроениеФункция убывает на

(-\infty,0)

, возрастает на

(0,+\infty)

и имеет минимум

y(0)=1

. Она выпукла вниз на

\mathbb R

, точек перегиба не имеет. При

x\to+\infty

наклонная
асимптота задаётся уравнением

y=x

Построение

Идея

Область определения функции — вся числовая прямая. Найдём производные:

y'=1-e^{-x},\qquady''=e^{-x}>0

Равенство

y'=0

выполняется только при

x=0

. Если

x<0

, то

e^{-x}>1

y'<0

; если

x>0

, то

e^{-x}<1

y'>0

.
Следовательно, функция убывает на

(-\infty,0)

, возрастает на

(0,+\infty)

и достигает наименьшего значения

y(0)=1

Так как

y''>0

на всей числовой прямой, график всюду выпуклый вниз и
точек перегиба нет. В частности,

y\geqslant1

, поэтому пересечений с
осью

Ox

нет.

1
На концах числовой прямой $\lim_{x\to-\infty}(x+e^{-x})=+\infty,\qquad\lim_{x\to+\infty}(x+e^{-x})=+\infty$ При $x\to+\infty$ $y-x=e^{-x}\to0$ поэтому прямая $y=x$ является наклонной асимптотой правой ветви.
При $x\to-\infty$ экспоненциальное слагаемое растёт, поэтому линейной
асимптоты нет.
2
Построение графика
Отмечаем минимум $(0,1)$ . Справа график
приближается к пунктирной прямой $y=x$ , оставаясь выше неё; слева
быстро уходит вверх. $график к задаче Демидовича № 1508$

Проверка

Ответ. Функция убывает на

(-\infty,0)

, возрастает на

(0,+\infty)

и имеет минимум

y(0)=1

. Она выпукла вниз на

\mathbb R

, точек перегиба не имеет. При

x\to+\infty

наклонная
асимптота задаётся уравнением

y=x