Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1507

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1507

Построить график функцииy=(1+x2)e−x2y=(1+x^2)e^{-x^2}
ПостроениеФункция возрастает на (−∞,0)(-\infty,0), убывает на
(0,+∞)(0,+\infty) и имеет максимум y(0)=1y(0)=1. Точки перегиба:(−32,52e32),(32,52e32)\left(-\sqrt{\frac32},\frac5{2e^{\frac32}}\right),
\qquad
\left(\sqrt{\frac32},\frac5{2e^{\frac32}}\right)Горизонтальная асимптота при x→±∞x\to\pm\infty имеет уравнение y=0y=0.

Построение

Функция определена на всей числовой прямой, положительна и является
чётной. Поэтому её график симметричен относительно оси OyOy. Имеемy(0)=1,lim⁡x→±∞(1+x2)e−x2=0y(0)=1,
\qquad
\lim_{x\to\pm\infty}(1+x^2)e^{-x^2}=0Последний предел следует из того, что экспонента ex2e^{x^2} растёт
быстрее многочлена 1+x21+x^2. Следовательно, y=0y=0 является
горизонтальной асимптотой при x→±∞x\to\pm\infty.
Производная равнаy′=2xe−x2−2x(1+x2)e−x2==−2x3e−x2\begin{aligned}
y'&=2xe^{-x^2}-2x(1+x^2)e^{-x^2}=\\
&=-2x^3e^{-x^2}
\end{aligned}При x<0x<0 производная положительна, а при x>0x>0 отрицательна.
Поэтому функция возрастает на (−∞,0)(-\infty,0), убывает на
(0,+∞)(0,+\infty) и достигает наибольшего значения 11 в точке
x=0x=0.

Вторая производная имеет видy′′=2x2e−x2(2x2−3)y''=2x^2e^{-x^2}(2x^2-3)Она меняет знак приx=±32x=\pm\sqrt{\frac32}В точке x=0x=0 вторая производная также равна нулю, но её знак не
меняется, поэтому точка (0,1)(0,1) не является точкой перегиба.
Ордината каждой точки перегиба равна(1+32)e−32=52e32\left(1+\frac32\right)e^{-\frac32}
=\frac5{2e^{\frac32}}При ∣x∣>32|x|>\sqrt{\frac32} график выпуклый вниз, а при
∣x∣<32|x|<\sqrt{\frac32} --- выпуклый вверх.

Построение графика

Отмечаем максимум (0,1)(0,1) и две симметричные точки
перегиба. Нулей у функции нет; обе ветви приближаются сверху к оси
OxOx.график к задаче Демидовича № 1507

Ответ

Функция возрастает на (−∞,0)(-\infty,0), убывает на
(0,+∞)(0,+\infty) и имеет максимум y(0)=1y(0)=1. Точки перегиба:(−32,52e32),(32,52e32)\left(-\sqrt{\frac32},\frac5{2e^{\frac32}}\right),
\qquad
\left(\sqrt{\frac32},\frac5{2e^{\frac32}}\right)Горизонтальная асимптота при x→±∞x\to\pm\infty имеет уравнение y=0y=0.

Проверка

Вторая производная получается по правилу произведения: y′′=(−6x2+4x4)e−x2=2x2(2x2−3)e−x2y''=(-6x^2+4x^4)e^{-x^2}=2x^2(2x^2-3)e^{-x^2}. Для предела можно применить уже доказанное преобладание экспоненты над степенью к переменной u=x2u=x^2: (1+u)/eu→0(1+u)/e^u\to0.
Демидович № 1507 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика