Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1506

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1506

Построить график функцииy=e2x−x2y=e^{2x-x^2}
ПостроениеФункция возрастает на (−∞,1)(-\infty,1), убывает на
(1,+∞)(1,+\infty) и достигает максимума ee при x=1x=1. Точки
перегиба:(1−12,e),(1+12,e)\left(1-\frac1{\sqrt2},\sqrt e\right),
\qquad
\left(1+\frac1{\sqrt2},\sqrt e\right)Горизонтальная асимптота при x→±∞x\to\pm\infty имеет уравнение y=0y=0.

Построение

Преобразуем показатель степени:2x−x2=1−(x−1)22x-x^2=1-(x-1)^2Поэтомуy=e1−(x−1)2y=e^{1-(x-1)^2}Функция определена и положительна при всех x∈Rx\in\mathbb R. Её график
симметричен относительно прямой x=1x=1, поскольку значение зависит от
(x−1)2(x-1)^2. Кроме того,lim⁡x→−∞y=0,lim⁡x→+∞y=0\lim_{x\to-\infty}y=0,
\qquad
\lim_{x\to+\infty}y=0Следовательно, y=0y=0 является горизонтальной асимптотой при
x→±∞x\to\pm\infty. Ось OxOx график не пересекает, а при x=0x=0
получаем y=1y=1.
Найдём производную:y′=2(1−x)e2x−x2y'=2(1-x)e^{2x-x^2}Так как экспонента положительна, знак y′y' определяется множителем
1−x1-x. Значит, функция возрастает на (−∞,1)(-\infty,1) и
убывает на (1,+∞)(1,+\infty). В точке x=1x=1 достигается наибольшее
значениеy(1)=ey(1)=e
Для определения направления выпуклости вычислим вторую производную:y′′=(4(x−1)2−2)e2x−x2y''=\bigl(4(x-1)^2-2\bigr)e^{2x-x^2}Она обращается в нуль приx=1±12x=1\pm\frac1{\sqrt2}и меняет знак в обеих точках. Ординаты точек перегиба равныe1−12=ee^{1-\frac12}=\sqrt eПри ∣x−1∣>12|x-1|>\frac1{\sqrt2} имеем y′′>0y''>0, поэтому график выпуклый
вниз, а при ∣x−1∣<12|x-1|<\frac1{\sqrt2} имеем y′′<0y''<0, поэтому график
выпуклый вверх.

Построение графика

Отмечаем максимум (1,e)(1,e), точки перегиба
(1±12,e)\left(1\pm\frac1{\sqrt2},\sqrt e\right) и точку (0,1)(0,1).
Кривая симметрична относительно x=1x=1 и с обеих сторон приближается
к оси OxOx.график к задаче Демидовича № 1506

Ответ

Функция возрастает на (−∞,1)(-\infty,1), убывает на
(1,+∞)(1,+\infty) и достигает максимума ee при x=1x=1. Точки
перегиба:(1−12,e),(1+12,e)\left(1-\frac1{\sqrt2},\sqrt e\right),
\qquad
\left(1+\frac1{\sqrt2},\sqrt e\right)Горизонтальная асимптота при x→±∞x\to\pm\infty имеет уравнение y=0y=0.

Проверка

При дифференцировании 2(1−x)e2x−x22(1-x)e^{2x-x^2} получаем [−2+2(1−x)(2−2x)]e2x−x2=[4(x−1)2−2]e2x−x2[-2+2(1-x)(2-2x)]e^{2x-x^2}=[4(x-1)^2-2]e^{2x-x^2}; так возникает коэффициент во второй производной.
Демидович № 1506 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика