Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1505

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1505

Построить график функцииy=2x−tg⁡xy=2x-\operatorname{tg}x
ПостроениеФункция нечётная, не является периодической и удовлетворяет
f(x+π)=f(x)+2πf(x+\pi)=f(x)+2\pi. Вертикальные асимптоты:
x=π2+kπx=\frac\pi2+k\pi. Локальные минимумы находятся при
x=kπ−π4x=k\pi-\frac\pi4, локальные максимумы — при
x=kπ+π4x=k\pi+\frac\pi4. Нули задаются уравнением
tg⁡x=2x\operatorname{tg}x=2x; первые положительные нули:
ξ0≈1,166\xi_0\approx1{,}166, ξ1≈4,604\xi_1\approx4{,}604.

Построение

Идея

Область определения:D=R∖{π2+kπ: k∈Z}D=\mathbb R\setminus
\left\{\frac\pi2+k\pi:\ k\in\mathbb Z\right\}Функция нечётная, но не периодическая. Вместо периодичности выполняется
соотношениеf(x+π)=f(x)+2πf(x+\pi)=f(x)+2\piпоэтому все соседние ветви получаются переносом на вектор
(π,2π)(\pi,2\pi).
  1. 1
    В точкахak=π2+kπa_k=\frac\pi2+k\piимеются вертикальные асимптоты, причёмlim⁡x→ak−y=−∞,lim⁡x→ak+y=+∞\lim_{x\to a_k^-}y=-\infty,
    \qquad
    \lim_{x\to a_k^+}y=+\infty    Первая производнаяy′=2−1cos⁡2x=cos⁡2xcos⁡2x\begin{aligned}
    y'&=2-\frac1{\cos^2x}
    =\frac{\cos2x}{\cos^2x}
    \end{aligned}    На каждом промежутке(kπ−π2,kπ+π2)\left(k\pi-\frac\pi2,k\pi+\frac\pi2\right)функция убывает на(kπ−π2,kπ−π4),(kπ+π4,kπ+π2)\left(k\pi-\frac\pi2,k\pi-\frac\pi4\right),
    \qquad
    \left(k\pi+\frac\pi4,k\pi+\frac\pi2\right)    и возрастает на(kπ−π4,kπ+π4)\left(k\pi-\frac\pi4,k\pi+\frac\pi4\right)Следовательно, локальные минимумы имеют координаты(kπ−π4, 2kπ+1−π2)\left(
    k\pi-\frac\pi4,\,
    2k\pi+1-\frac\pi2
    \right)    а локальные максимумы —(kπ+π4, 2kπ+π2−1)\left(
    k\pi+\frac\pi4,\,
    2k\pi+\frac\pi2-1
    \right)    Нули удовлетворяют уравнениюtg⁡x=2x\operatorname{tg}x=2xКроме нуля, они образуют пары ±ξk\pm\xi_k, где при k=0,1,2,…k=0,1,2,\ldotskπ+π4<ξk<kπ+π2k\pi+\frac\pi4<\xi_k<k\pi+\frac\pi2Первые два положительных корня равныξ0≈1,166,ξ1≈4,604\xi_0\approx1{,}166,
    \qquad
    \xi_1\approx4{,}604
  2. 2

    Построение графика

    Показаны три ветви: центральная и две соседние.
    Вертикальные асимптоты x=±π2,±3π2x=\pm\frac\pi2,\pm\frac{3\pi}2 проведены
    пунктиром. Отмечены шесть точек экстремума и пять нулей, попавших
    в выбранное окно.график к задаче Демидовича № 1505

Проверка

Ответ. Функция нечётная, не является периодической и удовлетворяет
f(x+π)=f(x)+2πf(x+\pi)=f(x)+2\pi. Вертикальные асимптоты:
x=π2+kπx=\frac\pi2+k\pi. Локальные минимумы находятся при
x=kπ−π4x=k\pi-\frac\pi4, локальные максимумы — при
x=kπ+π4x=k\pi+\frac\pi4. Нули задаются уравнением
tg⁡x=2x\operatorname{tg}x=2x; первые положительные нули:
ξ0≈1,166\xi_0\approx1{,}166, ξ1≈4,604\xi_1\approx4{,}604.
Демидович № 1505 — решение и ответ