Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1504

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1504

Построить графики функций:а) y=cos⁡xcos⁡2x;б) y=sin⁡x2+cos⁡x\text{а) }y=\frac{\cos x}{\cos2x};
\qquad
\text{б) }y=\frac{\sin x}{2+\cos x}
ПостроениеФункция нечётная, имеет период 2π2\pi, нули
x=kπx=k\pi и множество значенийE=[−13,13]E=\left[-\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}\right]Максимумы достигаются при x=2π3+2kπx=\frac{2\pi}3+2k\pi, минимумы —
при x=4π3+2kπx=\frac{4\pi}3+2k\pi.

Построение

  1. 1

    Пункт а)

    Область определения задаётся условием cos⁡2x≠0\cos2x\ne0:D=R∖{π4+kπ2: k∈Z}D=\mathbb R\setminus
    \left\{\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}:\ k\in\mathbb Z\right\}    Функция чётная и имеет период 2π2\pi. Период π\pi не подходит,
    посколькуf(x+π)=−f(x)f(x+\pi)=-f(x)Нули функции:x=π2+kπ,k∈Zx=\frac\pi2+k\pi,
    \qquad
    k\in\mathbb Z    Первая производнаяy′=−sin⁡xcos⁡2x+2cos⁡xsin⁡2xcos⁡22x==sin⁡x (2cos⁡2x+1)cos⁡22x\begin{aligned}
    y'
    &=\frac{-\sin x\cos2x+2\cos x\sin2x}{\cos^22x}=\\
    &=\frac{\sin x\,(2\cos^2x+1)}{\cos^22x}
    \end{aligned}    Второй множитель числителя и знаменатель положительны на области
    определения. Поэтому знак производной совпадает со знаком sin⁡x\sin x.
    В точках x=2kπx=2k\pi достигаются локальные минимумы со значением 11,
    а в точках x=(2k+1)πx=(2k+1)\pi — локальные максимумы со значением −1-1.

    Каждая исключённая точкаx=π4+kπ2x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}является вертикальной асимптотой. Между соседними асимптотами,
    содержащими нуль функции, ветвь принимает все действительные значения.
  2. 2

    Построение графика

    На симметричном окне показан полный период и пять
    ветвей. Четыре вертикальные асимптоты проведены пунктиром. Их точные
    абсциссы, нули и стационарные точки читаются по оси OxOx.график к задаче Демидовича № 1504
  3. 3

    Ответ

    Функция чётная, имеет период 2π2\pi, нули
    x=π2+kπx=\frac\pi2+k\pi и вертикальные асимптотыx=π4+kπ2,k∈Zx=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2},
    \qquad
    k\in\mathbb Z    В точках 2kπ2k\pi находятся локальные минимумы y=1y=1, а в точках
    (2k+1)π(2k+1)\pi — локальные максимумы y=−1y=-1.
  4. 4

    Пункт б)

    Поскольку1⩽2+cos⁡x⩽31\leqslant2+\cos x\leqslant3функция определена на всей числовой прямой. Она нечётна и имеет период
    2π2\pi. Её нули равныx=kπ,k∈Zx=k\pi,
    \qquad
    k\in\mathbb Z    Первая производнаяy′=cos⁡x(2+cos⁡x)+sin⁡2x(2+cos⁡x)2=1+2cos⁡x(2+cos⁡x)2\begin{aligned}
    y'
    &=\frac{\cos x(2+\cos x)+\sin^2x}{(2+\cos x)^2}
    =\frac{1+2\cos x}{(2+\cos x)^2}
    \end{aligned}    На одном периоде критические точки имеют абсциссыx=2π3,x=4π3x=\frac{2\pi}3,
    \qquad
    x=\frac{4\pi}3    Функция возрастает на(0,2π3),(4π3,2π)\left(0,\frac{2\pi}3\right),
    \qquad
    \left(\frac{4\pi}3,2\pi\right)    и убывает на (2π3,4π3)\left(\frac{2\pi}3,\frac{4\pi}3\right). Поэтомуymax⁡=13,ymin⁡=−13y_{\max}=\frac1{\sqrt3},
    \qquad
    y_{\min}=-\frac1{\sqrt3}    иE=[−13,13]E=\left[-\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}\right]
  5. 5

    Построение графика

    Показан один полный период с небольшими
    продолжениями по краям. Отмечены три нуля, абсолютный максимум и
    абсолютный минимум.график к задаче Демидовича № 1504

Проверка

Ответ. Функция нечётная, имеет период 2π2\pi, нули
x=kπx=k\pi и множество значенийE=[−13,13]E=\left[-\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}\right]Максимумы достигаются при x=2π3+2kπx=\frac{2\pi}3+2k\pi, минимумы —
при x=4π3+2kπx=\frac{4\pi}3+2k\pi.
Демидович № 1504 — решение и ответ