Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1504

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1504

Построить графики функций:а) y=cos⁡xcos⁡2x;б) y=sin⁡x2+cos⁡x\text{а) }y=\frac{\cos x}{\cos2x};
\qquad
\text{б) }y=\frac{\sin x}{2+\cos x}
Построениеа) Функция чётная, наименьший период 2π2\pi; нули π/2+kπ\pi/2+k\pi, вертикальные асимптоты π/4+kπ/2\pi/4+k\pi/2. Локальные минимумы (2kπ,1)(2k\pi,1), максимумы ((2k+1)π,−1)((2k+1)\pi,-1); перегибы (π/2+kπ,0)(\pi/2+k\pi,0). б) Функция нечётная, наименьший период 2π2\pi, нули kπk\pi. Максимумы (2π/3+2kπ,1/3)(2\pi/3+2k\pi,1/\sqrt3), минимумы (4π/3+2kπ,−1/3)(4\pi/3+2k\pi,-1/\sqrt3); перегибы (kπ,0)(k\pi,0). Во всех формулах k∈Zk\in\mathbb Z.

Построение

Пункт а)

Область определения задаётся условием cos⁡2x≠0\cos2x\ne0:D=R∖{π4+kπ2: k∈Z}D=\mathbb R\setminus
\left\{\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}:\ k\in\mathbb Z\right\}Функция чётная и имеет период 2π2\pi. Период π\pi не подходит,
посколькуf(x+π)=−f(x)f(x+\pi)=-f(x)Нули функции:x=π2+kπ,k∈Zx=\frac\pi2+k\pi,
\qquad
k\in\mathbb ZПервая производнаяy′=−sin⁡xcos⁡2x+2cos⁡xsin⁡2xcos⁡22x==sin⁡x (2cos⁡2x+1)cos⁡22x\begin{aligned}
y'
&=\frac{-\sin x\cos2x+2\cos x\sin2x}{\cos^22x}=\\
&=\frac{\sin x\,(2\cos^2x+1)}{\cos^22x}
\end{aligned}Второй множитель числителя и знаменатель положительны на области
определения. Поэтому знак производной совпадает со знаком sin⁡x\sin x.
В точках x=2kπx=2k\pi достигаются локальные минимумы со значением 11,
а в точках x=(2k+1)πx=(2k+1)\pi --- локальные максимумы со значением −1-1.

Каждая исключённая точкаx=π4+kπ2x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}является вертикальной асимптотой. Между соседними асимптотами,
содержащими нуль функции, ветвь принимает все действительные значения.

Построение графика

На симметричном окне показан полный период и пять
ветвей. Четыре вертикальные асимптоты проведены пунктиром. Их точные
абсциссы, нули и стационарные точки читаются по оси OxOx.график к задаче Демидовича № 1504

Ответ

Функция чётная, имеет период 2π2\pi, нули
x=π2+kπx=\frac\pi2+k\pi и вертикальные асимптотыx=π4+kπ2,k∈Zx=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2},
\qquad
k\in\mathbb ZВ точках 2kπ2k\pi находятся локальные минимумы y=1y=1, а в точках
(2k+1)π(2k+1)\pi --- локальные максимумы y=−1y=-1.

Пункт б)

Поскольку1⩽2+cos⁡x⩽31\leqslant2+\cos x\leqslant3функция определена на всей числовой прямой. Она нечётна и имеет период
2π2\pi. Её нули равныx=kπ,k∈Zx=k\pi,
\qquad
k\in\mathbb ZПервая производнаяy′=cos⁡x(2+cos⁡x)+sin⁡2x(2+cos⁡x)2=1+2cos⁡x(2+cos⁡x)2\begin{aligned}
y'
&=\frac{\cos x(2+\cos x)+\sin^2x}{(2+\cos x)^2}
=\frac{1+2\cos x}{(2+\cos x)^2}
\end{aligned}На одном периоде критические точки имеют абсциссыx=2π3,x=4π3x=\frac{2\pi}3,
\qquad
x=\frac{4\pi}3Функция возрастает на(0,2π3),(4π3,2π)\left(0,\frac{2\pi}3\right),
\qquad
\left(\frac{4\pi}3,2\pi\right)и убывает на (2π3,4π3)\left(\frac{2\pi}3,\frac{4\pi}3\right). Поэтомуymax⁡=13,ymin⁡=−13y_{\max}=\frac1{\sqrt3},
\qquad
y_{\min}=-\frac1{\sqrt3}иE=[−13,13]E=\left[-\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}\right]

Построение графика

Показан один полный период с небольшими
продолжениями по краям. Отмечены три нуля, абсолютный максимум и
абсолютный минимум.график к задаче Демидовича № 1504

Ответ

Функция нечётная, имеет период 2π2\pi, нули
x=kπx=k\pi и множество значенийE=[−13,13]E=\left[-\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}\right]Максимумы достигаются при x=2π3+2kπx=\frac{2\pi}3+2k\pi, минимумы ---
при x=4π3+2kπx=\frac{4\pi}3+2k\pi.

Проверка

В пункте а) любой период должен сохранять множество нулей π/2+πZ\pi/2+\pi\mathbb Z, поэтому он кратен π\pi. Так как π\pi не подходит, наименьший период равен 2π2\pi.

Для второй производной положим c=cos⁡xc=\cos x, s=sin⁡xs=\sin x, d=cos⁡2x=2c2−1d=\cos2x=2c^2-1. Производная числителя s(2c2+1)s(2c^2+1) равна c(2c2+1)−4s2c=3cdc(2c^2+1)-4s^2c=3cd. Поэтомуy′′=3cd2+4s(2c2+1)sin⁡2xd3=c[3(2c2−1)2+8(1−c2)(2c2+1)]d3=c(11−4c2−4c4)d3.y''=\frac{3cd^2+4s(2c^2+1)\sin2x}{d^3}
=\frac{c[3(2c^2-1)^2+8(1-c^2)(2c^2+1)]}{d^3}
=\frac{c(11-4c^2-4c^4)}{d^3}.Скобка не меньше 11−4−4=3>011-4-4=3>0. Перегибы находятся при c=0c=0, то есть (π/2+kπ,0)(\pi/2+k\pi,0); точки разрыва перегибами не являются.

В пункте б) sin⁡(2π/3)=3/2\sin(2\pi/3)=\sqrt3/2, 2+cos⁡(2π/3)=3/22+\cos(2\pi/3)=3/2, поэтому максимум (3/2)/(3/2)=1/3(\sqrt3/2)/(3/2)=1/\sqrt3; минимум получается по нечётности. Нули заставляют любой период быть кратным π\pi, но y(π/2)=1/2≠−1/2=y(3π/2)y(\pi/2)=1/2\ne-1/2=y(3\pi/2), поэтому наименьший период равен 2π2\pi.y′′=−2sin⁡x(2+cos⁡x)+2sin⁡x(1+2cos⁡x)(2+cos⁡x)3=2sin⁡x(cos⁡x−1)(2+cos⁡x)3.y''=\frac{-2\sin x(2+\cos x)+2\sin x(1+2\cos x)}{(2+\cos x)^3}
=\frac{2\sin x(\cos x-1)}{(2+\cos x)^3}.На (0,π)(0,\pi) знак отрицателен, на (π,2π)(\pi,2\pi) положителен. С учётом периодичности все (kπ,0)(k\pi,0) являются перегибами, в том числе x=2kπx=2k\pi, где знак меняет множитель sin⁡x\sin x.
Демидович № 1504 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика