Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1503

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1503

Построить график функцииy=sin⁡xsin⁡(x+π4)y=\frac{\sin x}{\sin\left(x+\frac\pi4\right)}
ПостроениеОбласть определения:D=R∖{−π4+kπ: k∈Z}D=\mathbb R\setminus
\left\{-\frac\pi4+k\pi:\ k\in\mathbb Z\right\}Функция имеет период π\pi, возрастает на каждом промежутке области
определения, принимает все действительные значения и имеет нули
x=kπx=k\pi.

Построение

Знаменатель не должен обращаться в нуль, поэтомуD=R∖{−π4+kπ: k∈Z}D=\mathbb R\setminus
\left\{-\frac\pi4+k\pi:\ k\in\mathbb Z\right\}Положим t=x+π4t=x+\frac\pi4. Тогдаy=sin⁡(t−π4)sin⁡t=12(1−ctg⁡t)==12(1−ctg⁡(x+π4))\begin{aligned}
y&=\frac{\sin\left(t-\frac\pi4\right)}{\sin t}
=\frac1{\sqrt2}(1-\operatorname{ctg}t)=\\
&=\frac1{\sqrt2}
\left(1-\operatorname{ctg}\left(x+\frac\pi4\right)\right)
\end{aligned}Следовательно, функция имеет период π\pi, а её множество значений
совпадает со всей числовой прямой.
Нули числителя не совпадают с исключёнными точками, поэтомуx=kπ,k∈Zx=k\pi,
\qquad
k\in\mathbb Zявляются нулями функции.

Первая производнаяy′=sin⁡π4sin⁡2(x+π4)=12 sin⁡2(x+π4)>0y'=
\frac{\sin\frac\pi4}
{\sin^2\left(x+\frac\pi4\right)}
=
\frac1{\sqrt2\,
\sin^2\left(x+\frac\pi4\right)}>0на каждом промежутке области определения. Поэтому каждая ветвь строго
возрастает. Для любой вертикальной асимптотыak=−π4+kπa_k=-\frac\pi4+k\piимеемlim⁡x→ak−y=+∞,lim⁡x→ak+y=−∞\lim_{x\to a_k^-}y=+\infty,
\qquad
\lim_{x\to a_k^+}y=-\infty

Построение графика

В окне показана одна полная ветвь между асимптотами
x=−π4x=-\frac\pi4 и x=3π4x=\frac{3\pi}4, а также части двух соседних
ветвей. Все ветви возрастают; нули x=0x=0 и x=πx=\pi отмечены.график к задаче Демидовича № 1503

Ответ

Область определения:D=R∖{−π4+kπ: k∈Z}D=\mathbb R\setminus
\left\{-\frac\pi4+k\pi:\ k\in\mathbb Z\right\}Функция имеет период π\pi, возрастает на каждом промежутке области
определения, принимает все действительные значения и имеет нули
x=kπx=k\pi.

Проверка

Числитель производной по правилу частного равен cos⁡xsin⁡(x+π/4)−sin⁡xcos⁡(x+π/4)=sin⁡(π/4)=1/2\cos x\sin(x+\pi/4)-\sin x\cos(x+\pi/4)=\sin(\pi/4)=1/\sqrt2. Для второй производной получаемy′′=−2cos⁡(x+π/4)sin⁡3(x+π/4).y''=-\frac{\sqrt2\cos(x+\pi/4)}{\sin^3(x+\pi/4)}.На каждой ветви знаменатель имеет постоянный знак, а числитель меняет знак один раз. Поэтому точки перегиба имеют координаты (π/4+kπ,1/2)(\pi/4+k\pi,1/\sqrt2). Преобразование к котангенсу также доказывает, что наименьший положительный период равен π\pi.
Демидович № 1503 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика