Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1502

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1502

Построить график функцииy=sin⁡x⋅sin⁡3xy=\sin x\cdot\sin3x
ПостроениеФункция чётная, имеет период π\pi, нули
x=kπ3x=\frac{k\pi}{3} и множество значений
[−1,916]\left[-1,\frac9{16}\right]. На одном периоде максимумы достигаются
при x=α,π−αx=\alpha,\pi-\alpha, гдеα=arcsin⁡64\alpha=\arcsin\frac{\sqrt6}{4}а минимум — при x=π2x=\frac\pi2.

Построение

Идея

Функция чётная. По формуле произведения синусовy=12(cos⁡2x−cos⁡4x)\begin{aligned}
y&=\frac12(\cos2x-\cos4x)
\end{aligned}Гармоники cos⁡2x\cos2x и cos⁡4x\cos4x имеют периоды π\pi и
π2\frac\pi2. Коэффициент при cos⁡2x\cos2x отличен от нуля, поэтому
наименьший положительный период суммы равен π\pi. Другая полезная
форма:y=sin⁡2x (3−4sin⁡2x)\begin{aligned}
y&=\sin^2x\,(3-4\sin^2x)
\end{aligned}Нули функции:x=kπ3,k∈Zx=\frac{k\pi}{3},
\qquad
k\in\mathbb Z
  1. 1
    Положим u=sin⁡2xu=\sin^2x. Тогда 0⩽u⩽10\leqslant u\leqslant1 иy=3u−4u2y=3u-4u^2Парабола достигает максимума при u=38u=\frac38:ymax⁡=916y_{\max}=\frac9{16}а наименьшее значение на отрезке 0⩽u⩽10\leqslant u\leqslant1 получается
    при u=1u=1:ymin⁡=−1y_{\min}=-1Следовательно,E=[−1,916]E=\left[-1,\frac9{16}\right]Первая производная имеет видy′=(3−8sin⁡2x)sin⁡2xy'=(3-8\sin^2x)\sin2xОбозначимα=arcsin⁡64\alpha=\arcsin\frac{\sqrt6}{4}На периоде 0⩽x⩽π0\leqslant x\leqslant\pi абсолютные максимумы достигаются
    приx=α,x=π−αx=\alpha,
    \qquad
    x=\pi-\alpha    а абсолютный минимум — при x=π2x=\frac\pi2.
  2. 2

    Построение графика

    Показан один полный период. Отмечены четыре нуля,
    две точки абсолютного максимума и абсолютный минимум. Абсциссы
    α\alpha и π−α\pi-\alpha вынесены на ось OxOx, но не смешаны
    с соседними нулями π3\frac\pi3 и 2π3\frac{2\pi}3.график к задаче Демидовича № 1502

Проверка

Ответ. Функция чётная, имеет период π\pi, нули
x=kπ3x=\frac{k\pi}{3} и множество значений
[−1,916]\left[-1,\frac9{16}\right]. На одном периоде максимумы достигаются
при x=α,π−αx=\alpha,\pi-\alpha, гдеα=arcsin⁡64\alpha=\arcsin\frac{\sqrt6}{4}а минимум — при x=π2x=\frac\pi2.
Демидович № 1502 — решение и ответ