Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1502

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1502

Построить график функцииy=sin⁡x⋅sin⁡3xy=\sin x\cdot\sin3x
ПостроениеФункция чётная, имеет период π\pi, нули
x=kπ3x=\frac{k\pi}{3} и множество значений
[−1,916]\left[-1,\frac9{16}\right]. На одном периоде максимумы достигаются
при x=α,π−αx=\alpha,\pi-\alpha, гдеα=arcsin⁡64\alpha=\arcsin\frac{\sqrt6}{4}а минимум — при x=π2x=\frac\pi2.

Построение

Функция чётная. По формуле произведения синусовy=12(cos⁡2x−cos⁡4x)\begin{aligned}
y&=\frac12(\cos2x-\cos4x)
\end{aligned}Число π\pi является периодом. Ниже найдём, что минимум −1-1 достигается только при x=π/2+kπx=\pi/2+k\pi. Любой период должен сохранять это множество; поэтому наименьший положительный период равен π\pi. Другая полезная
форма:y=sin⁡2x (3−4sin⁡2x)\begin{aligned}
y&=\sin^2x\,(3-4\sin^2x)
\end{aligned}Нули функции:x=kπ3,k∈Zx=\frac{k\pi}{3},
\qquad
k\in\mathbb Z
Положим u=sin⁡2xu=\sin^2x. Тогда 0⩽u⩽10\leqslant u\leqslant1 иy=3u−4u2y=3u-4u^2Парабола достигает максимума при u=38u=\frac38:ymax⁡=916y_{\max}=\frac9{16}а наименьшее значение на отрезке 0⩽u⩽10\leqslant u\leqslant1 получается
при u=1u=1:ymin⁡=−1y_{\min}=-1Следовательно,E=[−1,916]E=\left[-1,\frac9{16}\right]Первая производная имеет видy′=(3−8sin⁡2x)sin⁡2xy'=(3-8\sin^2x)\sin2xОбозначимα=arcsin⁡64\alpha=\arcsin\frac{\sqrt6}{4}На периоде 0⩽x⩽π0\leqslant x\leqslant\pi абсолютные максимумы достигаются
приx=α,x=π−αx=\alpha,
\qquad
x=\pi-\alphaа абсолютный минимум --- при x=π2x=\frac\pi2.

Построение графика

Строим один период по найденным нулям и экстремумам, учитывая интервалы возрастания и убывания. Затем повторяем его с указанным периодом.график к задаче Демидовича № 1502

Ответ

Функция чётная, имеет период π\pi, нули
x=kπ3x=\frac{k\pi}{3} и множество значений
[−1,916]\left[-1,\frac9{16}\right]. На одном периоде максимумы достигаются
при x=α,π−αx=\alpha,\pi-\alpha, гдеα=arcsin⁡64\alpha=\arcsin\frac{\sqrt6}{4}а минимум --- при x=π2x=\frac\pi2.

Проверка

На периоде (0,π)(0,\pi) знак y′=(3−8sin⁡2x)sin⁡2xy'=(3-8\sin^2x)\sin2x последовательно равен +,−,+,−+,-,+,- на интервалах с границами α,π/2,π−α\alpha,\pi/2,\pi-\alpha. В точках x=kπx=k\pi дополнительно имеются локальные минимумы y=0y=0, поскольку в достаточно малой окрестности sin⁡2x<3/4\sin^2x<3/4 и y=sin⁡2x(3−4sin⁡2x)⩾0y=\sin^2x(3-4\sin^2x)\geqslant0.

Вторая производная y′′=−2cos⁡2x+8cos⁡4x=2(8c2−c−4)y''=-2\cos2x+8\cos4x=2(8c^2-c-4), где c=cos⁡2xc=\cos2x. Корни c=(1±129)/16c=(1\pm\sqrt{129})/16 лежат в (−1,1)(-1,1), и в каждой соответствующей точке знак меняется. Это четыре перегиба на периоде. Из 8c2=c+48c^2=c+4 получаем их ординаты y=(1+c−2c2)/2=3c/8y=(1+c-2c^2)/2=3c/8.
Демидович № 1502 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика