Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1501

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1501

Построить график функцииy=sin⁡4x+cos⁡4xy=\sin^4x+\cos^4x
ПостроениеНаименьший положительный период равен
T=π2T=\frac\pi2, множество значений —
[12,1]\left[\frac12,1\right]. Максимумы достигаются при
x=kπ2x=\frac{k\pi}{2}, минимумы — при
x=π4+kπ2x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}.

Построение

Преобразуем функцию:y=(sin⁡2x+cos⁡2x)2−2sin⁡2xcos⁡2x==1−12sin⁡22x=34+14cos⁡4x\begin{aligned}
y&=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x=\\
&=1-\frac12\sin^22x
=\frac34+\frac14\cos4x
\end{aligned}Отсюда сразу следует, что наименьший положительный период равенT=π2T=\frac\pi2Кроме того,12⩽y⩽1\frac12\leqslant y\leqslant1Максимумы достигаются приsin⁡2x=0,x=kπ2\sin2x=0,
\qquad
x=\frac{k\pi}{2}и равны 11. Минимумы достигаются при∣sin⁡2x∣=1,x=π4+kπ2|\sin2x|=1,
\qquad
x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}и равны 12\frac12. Функция чётная и не имеет нулей.

Построение графика

Строим один период по найденным нулям и экстремумам, учитывая интервалы возрастания и убывания. Затем повторяем его с указанным периодом.график к задаче Демидовича № 1501

Ответ

Наименьший положительный период равен
T=π2T=\frac\pi2, множество значений ---
[12,1]\left[\frac12,1\right]. Максимумы достигаются при
x=kπ2x=\frac{k\pi}{2}, минимумы --- при
x=π4+kπ2x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}.

Проверка

Из формы y=3/4+cos⁡4x/4y=3/4+\cos4x/4 получаем y′=−sin⁡4xy'=-\sin4x, y′′=−4cos⁡4xy''=-4\cos4x. На периоде [0,π/2][0,\pi/2] функция убывает до π/4\pi/4, затем возрастает. Перегибы находятся при x=π/8+kπ/4x=\pi/8+k\pi/4, поскольку там cos⁡4x\cos4x меняет знак; все их ординаты равны 3/43/4.
Демидович № 1501 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика