Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1501

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить график функции

y=\sin^4x+\cos^4x

ПостроениеНаименьший положительный период равен

T=\frac\pi2

, множество значений —

\left[\frac12,1\right]

. Максимумы достигаются при

x=\frac{k\pi}{2}

, минимумы — при

x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}

Построение

Идея

Преобразуем функцию:

\begin{aligned}y&=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x=\\&=1-\frac12\sin^22x=\frac34+\frac14\cos4x\end{aligned}

Отсюда сразу следует, что наименьший положительный период равен

T=\frac\pi2

Кроме того,

\frac12\leqslant y\leqslant1

Максимумы достигаются при

\sin2x=0,\qquadx=\frac{k\pi}{2}

и равны

1

. Минимумы достигаются при

|\sin2x|=1,\qquadx=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}

и равны

\frac12

. Функция чётная и не имеет нулей.

1
Построение графика
Изображён один полный период с небольшими продолжениями.
Максимумы и минимум отмечены; точные уровни
$\frac12$ и $1$ читаются по оси $Oy$ . $график к задаче Демидовича № 1501$

Проверка

Ответ. Наименьший положительный период равен

T=\frac\pi2

, множество значений —

\left[\frac12,1\right]

. Максимумы достигаются при

x=\frac{k\pi}{2}

, минимумы — при

x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}