Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1500

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1500

Построить график функцииy=cos⁡x−12cos⁡2xy=\cos x-\frac12\cos2x
ПостроениеФункция чётная, имеет период 2π2\pi и множество значений
[−32,34]\left[-\frac32,\frac34\right]. На одном периоде абсолютные максимумы
достигаются при x=π3,5π3x=\frac\pi3,\frac{5\pi}3, абсолютный минимум —
при x=πx=\pi, а нули равны x=β,2π−βx=\beta,2\pi-\beta, гдеβ=arccos⁡1−32\beta=\arccos\frac{1-\sqrt3}{2}

Построение

Идея

Положим t=cos⁡xt=\cos x. Тогдаy=cos⁡x−12(2cos⁡2x−1)==12+t−t2=34−(t−12)2\begin{aligned}
y&=\cos x-\frac12(2\cos^2x-1)=\\
&=\frac12+t-t^2
=\frac34-\left(t-\frac12\right)^2
\end{aligned}В исходном выражении присутствуют ненулевые гармоники cos⁡x\cos x и
cos⁡2x\cos2x. Их наименьший общий положительный период равен 2π2\pi,
поэтому функция чётная и имеет наименьший положительный период 2π2\pi.
Так как −1⩽t⩽1-1\leqslant t\leqslant1,E=[−32,34]E=\left[-\frac32,\frac34\right]
  1. 1
    Нули функции находятся из уравненияt2−t−12=0t^2-t-\frac12=0Допустим только кореньcos⁡x=1−32\cos x=\frac{1-\sqrt3}{2}Обозначимβ=arccos⁡1−32\beta=\arccos\frac{1-\sqrt3}{2}Тогда на периоде 0⩽x⩽2π0\leqslant x\leqslant2\pix=β,x=2π−βx=\beta,
    \qquad
    x=2\pi-\beta    Первая производнаяy′=−sin⁡x+sin⁡2x==sin⁡x (2cos⁡x−1)\begin{aligned}
    y'&=-\sin x+\sin2x=\\
    &=\sin x\,(2\cos x-1)
    \end{aligned}    Критические точки на выбранном периоде:0,π3,π,5π3,2π0,\quad
    \frac\pi3,\quad
    \pi,\quad
    \frac{5\pi}3,\quad
    2\pi    Функция возрастает на(0,π3)и(π,5π3),\left(0,\frac\pi3\right)
    \quad\text{и}\quad
    \left(\pi,\frac{5\pi}3\right),    а убывает на(π3,π)и(5π3,2π).\left(\frac\pi3,\pi\right)
    \quad\text{и}\quad
    \left(\frac{5\pi}3,2\pi\right).    Абсолютные максимумы достигаются приx=π3,x=5π3,y=34x=\frac\pi3,
    \qquad
    x=\frac{5\pi}3,
    \qquad
    y=\frac34    а абсолютный минимум — приx=π,y=−32x=\pi,
    \qquad
    y=-\frac32    В точках x=2kπx=2k\pi имеются локальные минимумы со значением
    12\frac12.
  2. 2

    Построение графика

    Показан один полный период. Нули, оба абсолютных
    максимума, абсолютный минимум и соседние локальные минимумы отмечены
    маркерами. Крайние точки периода находятся внутри окна.график к задаче Демидовича № 1500

Проверка

Ответ. Функция чётная, имеет период 2π2\pi и множество значений
[−32,34]\left[-\frac32,\frac34\right]. На одном периоде абсолютные максимумы
достигаются при x=π3,5π3x=\frac\pi3,\frac{5\pi}3, абсолютный минимум —
при x=πx=\pi, а нули равны x=β,2π−βx=\beta,2\pi-\beta, гдеβ=arccos⁡1−32\beta=\arccos\frac{1-\sqrt3}{2}
Демидович № 1500 — решение и ответ