Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1500

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1500

Построить график функцииy=cos⁡x−12cos⁡2xy=\cos x-\frac12\cos2x
ПостроениеФункция чётная, имеет период 2π2\pi и множество значений
[−32,34]\left[-\frac32,\frac34\right]. На одном периоде абсолютные максимумы
достигаются при x=π3,5π3x=\frac\pi3,\frac{5\pi}3, абсолютный минимум —
при x=πx=\pi, а нули равны x=β,2π−βx=\beta,2\pi-\beta, гдеβ=arccos⁡1−32\beta=\arccos\frac{1-\sqrt3}{2}

Построение

Положим t=cos⁡xt=\cos x. Тогдаy=cos⁡x−12(2cos⁡2x−1)==12+t−t2=34−(t−12)2\begin{aligned}
y&=\cos x-\frac12(2\cos^2x-1)=\\
&=\frac12+t-t^2
=\frac34-\left(t-\frac12\right)^2
\end{aligned}Функция чётная, а 2π2\pi является её периодом по формулам косинуса. Минимум −3/2-3/2 достигается только при cos⁡x=−1\cos x=-1, то есть x=π+2kπx=\pi+2k\pi: это следует из 1/2+t−t2+3/2=(2−t)(t+1)⩾01/2+t-t^2+3/2=(2-t)(t+1)\geqslant0 при −1⩽t⩽1-1\leqslant t\leqslant1. Любой положительный период должен сохранять это множество точек; потому наименьший период равен 2π2\pi.
Так как −1⩽t⩽1-1\leqslant t\leqslant1,E=[−32,34]E=\left[-\frac32,\frac34\right]
Нули функции находятся из уравненияt2−t−12=0t^2-t-\frac12=0Допустим только кореньcos⁡x=1−32\cos x=\frac{1-\sqrt3}{2}Обозначимβ=arccos⁡1−32\beta=\arccos\frac{1-\sqrt3}{2}Тогда на периоде 0⩽x⩽2π0\leqslant x\leqslant2\pix=β,x=2π−βx=\beta,
\qquad
x=2\pi-\betaПервая производнаяy′=−sin⁡x+sin⁡2x==sin⁡x (2cos⁡x−1)\begin{aligned}
y'&=-\sin x+\sin2x=\\
&=\sin x\,(2\cos x-1)
\end{aligned}Критические точки на выбранном периоде:0,π3,π,5π3,2π0,\quad
\frac\pi3,\quad
\pi,\quad
\frac{5\pi}3,\quad
2\piФункция возрастает на(0,π3)и(π,5π3),\left(0,\frac\pi3\right)
\quad\text{и}\quad
\left(\pi,\frac{5\pi}3\right),а убывает на(π3,π)и(5π3,2π).\left(\frac\pi3,\pi\right)
\quad\text{и}\quad
\left(\frac{5\pi}3,2\pi\right).Абсолютные максимумы достигаются приx=π3,x=5π3,y=34x=\frac\pi3,
\qquad
x=\frac{5\pi}3,
\qquad
y=\frac34а абсолютный минимум --- приx=π,y=−32x=\pi,
\qquad
y=-\frac32В точках x=2kπx=2k\pi имеются локальные минимумы со значением
12\frac12.

Построение графика

Строим один период по найденным нулям и экстремумам, учитывая интервалы возрастания и убывания. Затем повторяем его с указанным периодом.график к задаче Демидовича № 1500

Ответ

Функция чётная, имеет период 2π2\pi и множество значений
[−32,34]\left[-\frac32,\frac34\right]. На одном периоде абсолютные максимумы
достигаются при x=π3,5π3x=\frac\pi3,\frac{5\pi}3, абсолютный минимум ---
при x=πx=\pi, а нули равны x=β,2π−βx=\beta,2\pi-\beta, гдеβ=arccos⁡1−32\beta=\arccos\frac{1-\sqrt3}{2}

Проверка

Вторая производная y′′=−cos⁡x+2cos⁡2x=4cos⁡2x−cos⁡x−2y''=-\cos x+2\cos2x=4\cos^2x-\cos x-2. Её нули соответствуют c=cos⁡x=(1±33)/8c=\cos x=(1\pm\sqrt{33})/8. Оба значения находятся внутри (−1,1)(-1,1), и знак y′′y'' в каждой такой точке меняется. На периоде четыре перегиба; их ординаты 1/2+c−c2=3c/41/2+c-c^2=3c/4, поскольку 4c2=c+24c^2=c+2.
Демидович № 1500 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика