Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1499

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1499

Построить график функцииy=sin⁡x+13sin⁡3xy=\sin x+\frac13\sin3x
ПостроениеФункция нечётная, имеет период 2π2\pi и нули
x=kπx=k\pi. Её множество значений:E=[−223,223]E=\left[-\frac{2\sqrt2}{3},\frac{2\sqrt2}{3}\right]Абсолютные максимумы достигаются при
x=π4,3π4(mod2π)x=\frac\pi4,\frac{3\pi}4\pmod{2\pi}, а абсолютные минимумы —
при x=5π4,7π4(mod2π)x=\frac{5\pi}4,\frac{7\pi}4\pmod{2\pi}.

Построение

По формулеsin⁡3x=3sin⁡x−4sin⁡3x\sin3x=3\sin x-4\sin^3xимеемy=sin⁡x+13sin⁡3x==2sin⁡x−43sin⁡3x==23sin⁡x (3−2sin⁡2x)\begin{aligned}
y&=\sin x+\frac13\sin3x=\\
&=2\sin x-\frac43\sin^3x=\\
&=\frac23\sin x\,(3-2\sin^2x)
\end{aligned}Множитель 3−2sin⁡2x3-2\sin^2x всегда положителен. Поэтому нули функции
равныx=kπ,k∈Zx=k\pi,
\qquad
k\in\mathbb Zа её знак совпадает со знаком sin⁡x\sin x. Функция нечётна. Подстановка показывает период 2π2\pi. Любой период должен переводить нуль 00 в нуль kπk\pi, то есть быть кратным π\pi. Число π\pi не подходит, поскольку y(π/2)=2/3y(\pi/2)=2/3, а y(3π/2)=−2/3y(3\pi/2)=-2/3. Поэтому наименьший положительный период — 2π2\pi.
Первая производнаяy′=cos⁡x+cos⁡3x==2cos⁡2xcos⁡x\begin{aligned}
y'&=\cos x+\cos3x=\\
&=2\cos2x\cos x
\end{aligned}На одном периоде 0⩽x⩽2π0\leqslant x\leqslant2\pi критические точки равныπ4,π2,3π4,5π4,3π2,7π4\frac\pi4,\quad
\frac\pi2,\quad
\frac{3\pi}4,\quad
\frac{5\pi}4,\quad
\frac{3\pi}2,\quad
\frac{7\pi}4На периоде (0,2π)(0,2\pi) функция возрастает на(0,π4),(π2,3π4),(5π4,3π2),(7π4,2π)\left(0,\frac\pi4\right),\quad
\left(\frac\pi2,\frac{3\pi}4\right),\quad
\left(\frac{5\pi}4,\frac{3\pi}2\right),\quad
\left(\frac{7\pi}4,2\pi\right)и убывает на(π4,π2),(3π4,5π4),(3π2,7π4)\left(\frac\pi4,\frac\pi2\right),\quad
\left(\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4\right),\quad
\left(\frac{3\pi}2,\frac{7\pi}4\right)В точках x=π4,3π4x=\frac\pi4,\frac{3\pi}4 достигается абсолютный максимумy=223y=\frac{2\sqrt2}{3}а в точках x=5π4,7π4x=\frac{5\pi}4,\frac{7\pi}4 --- абсолютный минимумy=−223y=-\frac{2\sqrt2}{3}Точки x=π2x=\frac\pi2 и x=3π2x=\frac{3\pi}2 являются соответственно
локальным минимумом и локальным максимумом:y(π2)=23,y(3π2)=−23y\left(\frac\pi2\right)=\frac23,
\qquad
y\left(\frac{3\pi}2\right)=-\frac23Таким образом,E=[−223,223]E=\left[-\frac{2\sqrt2}{3},\frac{2\sqrt2}{3}\right]

Построение графика

Строим один период по найденным нулям и экстремумам, учитывая интервалы возрастания и убывания. Затем повторяем его с указанным периодом.график к задаче Демидовича № 1499

Ответ

Функция нечётная, имеет период 2π2\pi и нули
x=kπx=k\pi. Её множество значений:E=[−223,223]E=\left[-\frac{2\sqrt2}{3},\frac{2\sqrt2}{3}\right]Абсолютные максимумы достигаются при
x=π4,3π4(mod2π)x=\frac\pi4,\frac{3\pi}4\pmod{2\pi}, а абсолютные минимумы ---
при x=5π4,7π4(mod2π)x=\frac{5\pi}4,\frac{7\pi}4\pmod{2\pi}.

Проверка

Значения экстремумов можно получить без отдельного вычисления sin⁡3x\sin3x: при sin⁡x=±2/2\sin x=\pm\sqrt2/2 имеем y=(2/3)(±2/2)(3−1)=±22/3y=(2/3)(\pm\sqrt2/2)(3-1)=\pm2\sqrt2/3. При sin⁡x=±1\sin x=\pm1 получаем y=±2/3y=\pm2/3.

Вторая производная равна y′′=−sin⁡x−3sin⁡3x=−10sin⁡x+12sin⁡3x=2sin⁡x(6sin⁡2x−5)y''=-\sin x-3\sin3x=-10\sin x+12\sin^3x=2\sin x(6\sin^2x-5). Её знак меняется при sin⁡x=0\sin x=0 и sin⁡x=±5/6\sin x=\pm\sqrt{5/6}. Это точки перегиба. Их ординаты соответственно 00 и 8sin⁡x/98\sin x/9, так как 2s−(4/3)s3=s(2−10/9)=8s/92s-(4/3)s^3=s(2-10/9)=8s/9 при s2=5/6s^2=5/6.
Демидович № 1499 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика