Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1499

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1499

Построить график функцииy=sin⁡x+13sin⁡3xy=\sin x+\frac13\sin3x
ПостроениеФункция нечётная, имеет период 2π2\pi и нули
x=kπx=k\pi. Её множество значений:E=[−223,223]E=\left[-\frac{2\sqrt2}{3},\frac{2\sqrt2}{3}\right]Абсолютные максимумы достигаются при
x=π4,3π4(mod2π)x=\frac\pi4,\frac{3\pi}4\pmod{2\pi}, а абсолютные минимумы —
при x=5π4,7π4(mod2π)x=\frac{5\pi}4,\frac{7\pi}4\pmod{2\pi}.

Построение

Идея

По формулеsin⁡3x=3sin⁡x−4sin⁡3x\sin3x=3\sin x-4\sin^3xимеемy=sin⁡x+13sin⁡3x==2sin⁡x−43sin⁡3x==23sin⁡x (3−2sin⁡2x)\begin{aligned}
y&=\sin x+\frac13\sin3x=\\
&=2\sin x-\frac43\sin^3x=\\
&=\frac23\sin x\,(3-2\sin^2x)
\end{aligned}Множитель 3−2sin⁡2x3-2\sin^2x всегда положителен. Поэтому нули функции
равныx=kπ,k∈Zx=k\pi,
\qquad
k\in\mathbb Zа её знак совпадает со знаком sin⁡x\sin x. Функция нечётна. Ненулевые
гармоники sin⁡x\sin x и sin⁡3x\sin3x имеют наименьший общий положительный
период 2π2\pi, поэтому это наименьший положительный период функции.
  1. 1
    Первая производнаяy′=cos⁡x+cos⁡3x==2cos⁡2xcos⁡x\begin{aligned}
    y'&=\cos x+\cos3x=\\
    &=2\cos2x\cos x
    \end{aligned}    На одном периоде 0⩽x⩽2π0\leqslant x\leqslant2\pi критические точки равныπ4,π2,3π4,5π4,3π2,7π4\frac\pi4,\quad
    \frac\pi2,\quad
    \frac{3\pi}4,\quad
    \frac{5\pi}4,\quad
    \frac{3\pi}2,\quad
    \frac{7\pi}4    На периоде (0,2π)(0,2\pi) функция возрастает на(0,π4),(π2,3π4),(5π4,3π2),(7π4,2π)\left(0,\frac\pi4\right),\quad
    \left(\frac\pi2,\frac{3\pi}4\right),\quad
    \left(\frac{5\pi}4,\frac{3\pi}2\right),\quad
    \left(\frac{7\pi}4,2\pi\right)    и убывает на(π4,π2),(3π4,5π4),(3π2,7π4)\left(\frac\pi4,\frac\pi2\right),\quad
    \left(\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4\right),\quad
    \left(\frac{3\pi}2,\frac{7\pi}4\right)    В точках x=π4,3π4x=\frac\pi4,\frac{3\pi}4 достигается абсолютный максимумy=223y=\frac{2\sqrt2}{3}а в точках x=5π4,7π4x=\frac{5\pi}4,\frac{7\pi}4 — абсолютный минимумy=−223y=-\frac{2\sqrt2}{3}Точки x=π2x=\frac\pi2 и x=3π2x=\frac{3\pi}2 являются соответственно
    локальным минимумом и локальным максимумом:y(π2)=23,y(3π2)=−23y\left(\frac\pi2\right)=\frac23,
    \qquad
    y\left(\frac{3\pi}2\right)=-\frac23    Таким образом,E=[−223,223]E=\left[-\frac{2\sqrt2}{3},\frac{2\sqrt2}{3}\right]
  2. 2

    Построение графика

    Показан полный период с шестью точками экстремума.
    Три нуля и все экстремумы отмечены синими маркерами; точные значения
    абсолютных экстремумов вынесены на ось OyOy.график к задаче Демидовича № 1499

Проверка

Ответ. Функция нечётная, имеет период 2π2\pi и нули
x=kπx=k\pi. Её множество значений:E=[−223,223]E=\left[-\frac{2\sqrt2}{3},\frac{2\sqrt2}{3}\right]Абсолютные максимумы достигаются при
x=π4,3π4(mod2π)x=\frac\pi4,\frac{3\pi}4\pmod{2\pi}, а абсолютные минимумы —
при x=5π4,7π4(mod2π)x=\frac{5\pi}4,\frac{7\pi}4\pmod{2\pi}.
Демидович № 1499 — решение и ответ