Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1495

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1495

Построить график функцииy=x2x+13y=\sqrt[3]{\frac{x^2}{x+1}}
ПостроениеВертикальная асимптота: x=−1x=-1. Локальный максимум
равен −43-\sqrt[3]{4} при x=−2x=-2, минимум правой ветви находится
в точке (0,0)(0,0). Точки перегиба имеют абсциссы
−2±3-2\pm\sqrt3.

Построение

Кубический корень существует для любого действительного подкоренного
выражения, поэтомуD(y)=R∖{−1}D(y)=\mathbb R\setminus\{-1\}Функция отрицательна при x<−1x<-1, положительна при
x∈(−1,0)∪(0,+∞)x\in(-1,0)\cup(0,+\infty) и имеет единственный нуль x=0x=0.
В точке разрываlim⁡x→−1−y=−∞,lim⁡x→−1+y=+∞\lim_{x\to-1-}y=-\infty,
\qquad
\lim_{x\to-1+}y=+\inftyСледовательно, x=−1x=-1 --- вертикальная асимптота. Кроме того,y3=x−1+1x+1y^3=x-1+\frac1{x+1}поэтому при ∣x∣→∞|x|\to\infty график приближается к кривой
y=x−13y=\sqrt[3]{x-1}, причёмy−x−13⟶0y-\sqrt[3]{x-1}\longrightarrow0Это асимптотическая кривая, но не линейная асимптота.
Для x≠−1,0x\ne-1,0 первая производная равнаy′=x+23x3(x+1)43y'=\frac{x+2}{3\sqrt[3]{x}(x+1)^{\frac43}}Функция возрастает на (−∞,−2)( -\infty,-2), убывает на
(−2,−1)(-2,-1) и (−1,0)(-1,0), затем возрастает на (0,+∞)(0,+\infty).
В точке x=−2x=-2 расположен локальный максимумy(−2)=−43y(-2)=-\sqrt[3]{4}В точке (0,0)(0,0) достигается минимум правой ветви; здесь график
имеет острие с вертикальными полукасательными.

Вторая производная имеет видy′′=−2(x2+4x+1)9x43(x+1)73y''=-\frac{2(x^2+4x+1)}
{9x^{\frac43}(x+1)^{\frac73}}Она меняет знак в точкахx1=−2−3,x2=−2+3x_1=-2-\sqrt3,
\qquad
x_2=-2+\sqrt3Соответствующие точки перегиба равныC1=(−2−3,−5+3323),C2=(−2+3,−5+3323)\begin{aligned}
C_1&=\left(
-2-\sqrt3,
-\sqrt[3]{\frac{5+3\sqrt3}{2}}
\right),\\
C_2&=\left(
-2+\sqrt3,
\sqrt[3]{\frac{-5+3\sqrt3}{2}}
\right)
\end{aligned}При x=0x=0 вторая производная не существует, но выпуклость по обе
стороны от нуля одинакова, поэтому эта точка не является точкой
перегиба.

Построение графика

На общем графике показываем обе ветви, асимптоту
x=−1x=-1, максимум и обе точки перегиба. Ниже добавлен увеличенный
фрагмент правой ветви около точки (0,0)(0,0). Оранжевым цветом отмечены
точки перегиба.
график к задаче Демидовича № 1495график к задаче Демидовича № 1495

Ответ

Вертикальная асимптота: x=−1x=-1. Локальный максимум
равен −43-\sqrt[3]{4} при x=−2x=-2, минимум правой ветви находится
в точке (0,0)(0,0). Точки перегиба имеют абсциссы
−2±3-2\pm\sqrt3.

Проверка

Из y=x2/3(x+1)−1/3y=x^{2/3}(x+1)^{-1/3} при x≠−1,0x\ne-1,0 получаемy′=23x−1/3(x+1)−1/3−13x2/3(x+1)−4/3=2(x+1)−x3x3(x+1)4/3.y'=\frac23x^{-1/3}(x+1)^{-1/3}-\frac13x^{2/3}(x+1)^{-4/3}
=\frac{2(x+1)-x}{3\sqrt[3]x(x+1)^{4/3}}.Для следующей производной общий знаменатель равен 9x4/3(x+1)7/39x^{4/3}(x+1)^{7/3}; числитель равен 3x(x+1)−(x+2)(x+1)−4x(x+2)=−2(x2+4x+1)3x(x+1)-(x+2)(x+1)-4x(x+2)=-2(x^2+4x+1).

Если r=−2±3r=-2\pm\sqrt3, то r2=−4r−1r^2=-4r-1 иr2r+1=−4+3r+1=−5±332.\frac{r^2}{r+1}=-4+\frac3{r+1}=\frac{-5\pm3\sqrt3}{2}.Последний переход получается умножением 1/(−1±3)1/(-1\pm\sqrt3) на (−1∓3)/(−1∓3)(-1\mp\sqrt3)/(-1\mp\sqrt3); это даёт указанные ординаты перегибов.

В нуле y(h)/h=1/h(h+1)3y(h)/h=1/\sqrt[3]{h(h+1)} стремится к −∞-\infty слева и +∞+\infty справа. Для асимптотической кривой положим z=x−13z=\sqrt[3]{x-1}. Тогда (y−z)(y2+yz+z2)=1/(x+1)(y-z)(y^2+yz+z^2)=1/(x+1). При ∣x∣→∞|x|\to\infty величины y,zy,z одного знака и ∣z∣→∞|z|\to\infty, поэтому y−z→0y-z\to0.
Демидович № 1495 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика