Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1495

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1495

Построить график функцииy=x2x+13y=\sqrt[3]{\frac{x^2}{x+1}}
ПостроениеВертикальная асимптота: x=−1x=-1. Локальный максимум
равен −43-\sqrt[3]{4} при x=−2x=-2, минимум правой ветви находится
в точке (0,0)(0,0). Точки перегиба имеют абсциссы
−2±3-2\pm\sqrt3.

Построение

Идея

Кубический корень существует для любого действительного подкоренного
выражения, поэтомуD(y)=R∖{−1}D(y)=\mathbb R\setminus\{-1\}Функция отрицательна при x<−1x<-1, положительна при
x∈(−1,0)∪(0,+∞)x\in(-1,0)\cup(0,+\infty) и имеет единственный нуль x=0x=0.
В точке разрываlim⁡x→−1−y=−∞,lim⁡x→−1+y=+∞\lim_{x\to-1-}y=-\infty,
\qquad
\lim_{x\to-1+}y=+\inftyСледовательно, x=−1x=-1 — вертикальная асимптота. Кроме того,y3=x−1+1x+1y^3=x-1+\frac1{x+1}поэтому при ∣x∣→∞|x|\to\infty график приближается к кривой
y=x−13y=\sqrt[3]{x-1}, причёмy−x−13⟶0y-\sqrt[3]{x-1}\longrightarrow0Это асимптотическая кривая, но не линейная асимптота.
  1. 1
    Для x≠−1,0x\ne-1,0 первая производная равнаy′=x+23x3(x+1)43y'=\frac{x+2}{3\sqrt[3]{x}(x+1)^{\frac43}}Функция возрастает на (−∞,−2)( -\infty,-2), убывает на
    (−2,−1)(-2,-1) и (−1,0)(-1,0), затем возрастает на (0,+∞)(0,+\infty).
    В точке x=−2x=-2 расположен локальный максимумy(−2)=−43y(-2)=-\sqrt[3]{4}В точке (0,0)(0,0) достигается минимум правой ветви; здесь график
    имеет острие с вертикальными полукасательными.

    Вторая производная имеет видy′′=−2(x2+4x+1)9x43(x+1)73y''=-\frac{2(x^2+4x+1)}
    {9x^{\frac43}(x+1)^{\frac73}}    Она меняет знак в точкахx1=−2−3,x2=−2+3x_1=-2-\sqrt3,
    \qquad
    x_2=-2+\sqrt3    Соответствующие точки перегиба равныC1=(−2−3,−5+3323),C2=(−2+3,−5+3323)\begin{aligned}
    C_1&=\left(
    -2-\sqrt3,
    -\sqrt[3]{\frac{5+3\sqrt3}{2}}
    \right),\\
    C_2&=\left(
    -2+\sqrt3,
    \sqrt[3]{\frac{-5+3\sqrt3}{2}}
    \right)
    \end{aligned}    При x=0x=0 вторая производная не существует, но выпуклость по обе
    стороны от нуля одинакова, поэтому эта точка не является точкой
    перегиба.
  2. 2

    Построение графика

    На общем графике показываем обе ветви, асимптоту
    x=−1x=-1, максимум и обе точки перегиба. Ниже добавлен увеличенный
    фрагмент правой ветви около точки (0,0)(0,0). Оранжевым цветом отмечены
    точки перегиба.график к задаче Демидовича № 1495график к задаче Демидовича № 1495

Проверка

Ответ. Вертикальная асимптота: x=−1x=-1. Локальный максимум
равен −43-\sqrt[3]{4} при x=−2x=-2, минимум правой ветви находится
в точке (0,0)(0,0). Точки перегиба имеют абсциссы
−2±3-2\pm\sqrt3.
Демидович № 1495 — решение и ответ