Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1494

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1494

Построить график функцииy=1−x+x33+x3y=1-x+\sqrt[3]{\frac{x^3}{3+x}}
ПостроениеВертикальная асимптота x=−3x=-3. Минимум и максимум: x=t−3−3x=t_-^3-3 и x=t+3−3x=t_+^3-3, где 3t±4−2t±3−3=03t_\pm^4-2t_\pm^3-3=0, −0,868<t−<−0,867-0{,}868<t_-<-0{,}867, 1,218<t+<1,2191{,}218<t_+<1{,}219. Перегиб: (−9,10+9/63)(-9,10+9/\sqrt[3]6). Нули: x=si3−3x=s_i^3-3, где si4−si3−4si+3=0s_i^4-s_i^3-4s_i+3=0, 0,723<s1<0,7240{,}723<s_1<0{,}724, 1,747<s2<1,7481{,}747<s_2<1{,}748.

Построение

Кубические корни понимаем как действительные. Тогдаy=1−x+xx+33,D=R∖{−3}.y=1-x+\frac{x}{\sqrt[3]{x+3}},\qquad D=\mathbb R\setminus\{-3\}.При x→−3−x\to-3- последний член стремится к +∞+\infty, а при x→−3+x\to-3+ — к −∞-\infty. Поэтому x=−3x=-3 — вертикальная асимптота. На бесконечности y/x=−1+1/x+1/x+33→−1y/x=-1+1/x+1/\sqrt[3]{x+3}\to-1: слева y→+∞y\to+\infty, справа y→−∞y\to-\infty. Наклонной прямой асимптоты нет, поскольку y+x=1+x/x+33→+∞y+x=1+x/\sqrt[3]{x+3}\to+\infty.

Введём t=x+33t=\sqrt[3]{x+3}; тогда x=t3−3x=t^3-3, t≠0t\ne0. Сначала дифференцируем по xx:y′=−1+(x+3)−1/3−x3(x+3)−4/3=−3t4+2t3+33t4=−Q(t)3t4,y'=-1+(x+3)^{-1/3}-\frac x3(x+3)^{-4/3}
=\frac{-3t^4+2t^3+3}{3t^4}=-\frac{Q(t)}{3t^4},где Q(t)=3t4−2t3−3Q(t)=3t^4-2t^3-3. Имеем Q′(t)=6t2(2t−1)Q'(t)=6t^2(2t-1). Поэтому QQ строго убывает до 1/21/2 и строго возрастает после 1/21/2; нулевая производная в изолированной точке 00 этого не меняет. Так как Q(0)=−3Q(0)=-3, а на обоих концах Q→+∞Q\to+\infty, корней ровно два: t−<0<t+t_-<0<t_+.

Следовательно, при x±=t±3−3x_\pm=t_\pm^3-3 функция убывает на (−∞,x−)(-\infty,x_-) и (x+,+∞)(x_+,+\infty), возрастает на (x−,−3)(x_-,-3) и (−3,x+)(-3,x_+). Точка x−x_- — минимум левой ветви, x+x_+ — максимум правой. Их точные ординаты равныy(x±)=4−t±3+t±2−3t±.y(x_\pm)=4-t_\pm^3+t_\pm^2-\frac3{t_\pm}.На левой ветви нулей нет: если x<−3x<-3, то 1−x>01-x>0 и x/x+33>0x/\sqrt[3]{x+3}>0. На правой ветви оба крайних предела равны −∞-\infty, а y(−2)=3−2=1>0y(-2)=3-2=1>0. Поэтому по непрерывности и строгой монотонности по сторонам максимума существуют ровно два нуля.
Для их нахождения подставляем x=t3−3x=t^3-3 в y=0y=0:4−t3+t2−3/t=0⟺P(t)=t4−t3−4t+3=0.4-t^3+t^2-3/t=0\quad\Longleftrightarrow\quad P(t)=t^4-t^3-4t+3=0.Обозначим два положительных корня s1<s2s_1<s_2. Нули графика имеют точные абсциссы s13−3s_1^3-3 и s23−3s_2^3-3. Для построения достаточно следующих отделяющих интервалов. Значения получены подстановкой по схемам P(t)=((t−1)t2−4)t+3P(t)=((t-1)t^2-4)t+3 и Q(t)=((3t−2)t)t2−3Q(t)=((3t-2)t)t^2-3:tзначение многочленаP0,7230,003312540441P0,724−0,000742945024P1,747−0,005100786919P1,7480,003083702016Q−0,8680,010887235328Q−0,867−0,001462215837Q1,218−0,011334088272Q1,2190,001467362563\begin{array}{c|r|r}
&t&\text{значение многочлена}\\\hline
P&0{,}723&0{,}003312540441\\
P&0{,}724&-0{,}000742945024\\
P&1{,}747&-0{,}005100786919\\
P&1{,}748&0{,}003083702016\\
Q&-0{,}868&0{,}010887235328\\
Q&-0{,}867&-0{,}001462215837\\
Q&1{,}218&-0{,}011334088272\\
Q&1{,}219&0{,}001467362563
\end{array}Каждая соседняя пара разных знаков заключает соответствующий корень. При необходимости берём середину интервала, вычисляем тот же многочлен и сохраняем половину с разными знаками на концах. Координаты затем получаются из уже выведенных формул x=t3−3x=t^3-3, y=4−t3+t2−3/ty=4-t^3+t^2-3/t.

Вторую производную удобно найти до замены переменной:y′=−1+2x+93(x+3)4/3,y′′=6(x+3)−4(2x+9)9(x+3)7/3=−2(x+9)9(x+3)7/3.y'=-1+\frac{2x+9}{3(x+3)^{4/3}},\qquad
y''=\frac{6(x+3)-4(2x+9)}{9(x+3)^{7/3}}
=-\frac{2(x+9)}{9(x+3)^{7/3}}.Знак отрицателен на (−∞,−9)(-\infty,-9), положителен на (−9,−3)(-9,-3) и отрицателен на (−3,+∞)(-3,+\infty). Единственный перегиб:(−9, 10+963),\left(-9,\ 10+\frac9{\sqrt[3]6}\right),поскольку при x=−9x=-9 получаем 1−x=101-x=10, x/x+33=9/63x/\sqrt[3]{x+3}=9/\sqrt[3]6. Точка разрыва x=−3x=-3 перегибом не является. График также проходит через (0,1)(0,1).график к задаче Демидовича № 1494

Ответ: две ветви с вертикальной асимптотой x=−3x=-3. Минимум левой ветви и максимум правой имеют абсциссы t−3−3t_-^3-3 и t+3−3t_+^3-3, где Q(t±)=0Q(t_\pm)=0. Нули — s13−3s_1^3-3 и s23−3s_2^3-3, где P(si)=0P(s_i)=0. Перегиб находится при x=−9x=-9.
Демидович № 1494 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика