Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1494

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1494

Построить график функцииy=1−x+x33+x3y=1-x+\sqrt[3]{\frac{x^3}{3+x}}
ПостроениеВертикальная асимптота: x=−3x=-3. Локальный минимум
левой ветви находится при x≈−3,651982x\approx-3{,}651982, локальный максимум
правой — при x≈−1,189124x\approx-1{,}189124. Единственная точка перегиба
имеет абсциссу −9-9. Нули функции:
x≈−2,620785x\approx-2{,}620785 и x≈2,337571x\approx2{,}337571.

Построение

Идея

Используя действительный кубический корень, перепишем функцию:y=1−x+xx+33,D(y)=R∖{−3}y=1-x+\frac{x}{\sqrt[3]{x+3}},
\qquad
D(y)=\mathbb R\setminus\{-3\}В точке разрываlim⁡x→−3−y=+∞,lim⁡x→−3+y=−∞\lim_{x\to-3-}y=+\infty,
\qquad
\lim_{x\to-3+}y=-\inftyпоэтому x=−3x=-3 — вертикальная асимптота. На бесконечностяхlim⁡x→−∞y=+∞,lim⁡x→+∞y=−∞\lim_{x\to-\infty}y=+\infty,
\qquad
\lim_{x\to+\infty}y=-\infty
  1. 1
    Положим t=x+33t=\sqrt[3]{x+3}, тогда x=t3−3x=t^3-3 и t≠0t\ne0.
    Для нахождения нулей полагаем y=0y=0. После подстановки получаем4−t3+t2−3t=04-t^3+t^2-\frac3t=0Так как t≠0t\ne0, это уравнение равносильно уравнениюt4−t3−4t+3=0t^4-t^3-4t+3=0Его действительные корни приближённо равныt1≈0,723817,t2≈1,747624t_1\approx0{,}723817,
    \qquad
    t_2\approx1{,}747624    Поэтому функция имеет два нуля:x1=t13−3≈−2,620785,x2=t23−3≈2,337571x_1=t_1^3-3\approx-2{,}620785,
    \qquad
    x_2=t_2^3-3\approx2{,}337571    Первая производная принимает видy′=−3t4+2t3+33t4y'=\frac{-3t^4+2t^3+3}{3t^4}Критические значения параметра являются действительными корнями
    уравненияQ(t)=3t4−2t3−3=0Q(t)=3t^4-2t^3-3=0Производная этого многочлена равнаQ′(t)=6t2(2t−1)Q'(t)=6t^2(2t-1)Поэтому многочлен убывает до t=12t=\frac12 и затем возрастает. Следовательно,
    он имеет ровно два действительных корня:t−≈−0,867119,t+≈1,218886t_-\approx-0{,}867119,
    \qquad
    t_+\approx1{,}218886    Им соответствуют абсциссыx−=t−3−3≈−3,651982,x+=t+3−3≈−1,189124x_-=t_-^3-3\approx-3{,}651982,
    \qquad
    x_+=t_+^3-3\approx-1{,}189124    Функция убывает на (−∞,x−)( -\infty,x_-), возрастает на
    (x−,−3)(x_-,-3) и (−3,x+)(-3,x_+), затем убывает на
    (x+,+∞)(x_+,+\infty). Поэтомуy(x−)≈8,863611,y(x+)≈1,213541y(x_-)\approx8{,}863611,
    \qquad
    y(x_+)\approx1{,}213541    Первое значение является локальным минимумом левой ветви, второе —
    локальным максимумом правой ветви.

    Вторая производная равнаy′′=−2(x+9)9(x+3)73y''=-\frac{2(x+9)}{9(x+3)^{\frac73}}Она отрицательна на (−∞,−9)( -\infty,-9) и (−3,+∞)(-3,+\infty),
    положительна на (−9,−3)(-9,-3). Единственная точка перегиба имеет
    координатыC(−9,10+963)≈(−9,14,952891)C\left(-9,10+\frac9{\sqrt[3]{6}}\right)
    \approx(-9,14{,}952891)    Точка x=−3x=-3 точкой перегиба не является, поскольку функция там
    не определена.
  2. 2

    Построение графика

    Строим две ветви, разделённые асимптотой
    x=−3x=-3. На левой отмечаем минимум и точку перегиба, на правой —
    максимум. Оранжевым цветом отмечена точка перегиба.график к задаче Демидовича № 1494

Проверка

Ответ. Вертикальная асимптота: x=−3x=-3. Локальный минимум
левой ветви находится при x≈−3,651982x\approx-3{,}651982, локальный максимум
правой — при x≈−1,189124x\approx-1{,}189124. Единственная точка перегиба
имеет абсциссу −9-9. Нули функции:
x≈−2,620785x\approx-2{,}620785 и x≈2,337571x\approx2{,}337571.
Демидович № 1494 — решение и ответ