Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1492

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1492

Построить график функцииy=x2x2−12x2−1y=\frac{x^2\sqrt{x^2-1}}{2x^2-1}
ПостроениеФункция чётная; минимумы равны нулю при x=±1x=\pm1.
Наклонные асимптоты: y=−x2y=-\frac{x}{2} при x→−∞x\to-\infty и
y=x2y=\frac{x}{2} при x→+∞x\to+\infty. Точек перегиба нет.

Построение

Из условия подкоренного выражения получаемD(y)=(−∞,−1]∪[1,+∞)D(y)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)На этой области знаменатель не обращается в нуль. Функция чётная и
неотрицательная, причём y(±1)=0y(\pm1)=0.
При ∣x∣>1|x|>1 первая производная равнаy′=x(2x4−3x2+2)x2−1(2x2−1)2y'=\frac{x(2x^4-3x^2+2)}
{\sqrt{x^2-1}(2x^2-1)^2}Квадратный трёхчлен относительно u=x2u=x^22u2−3u+22u^2-3u+2положителен при всех uu, поскольку его дискриминант равен −7-7.
Следовательно, функция убывает на (−∞,−1]( -\infty,-1] и возрастает на
[1,+∞)[1,+\infty). В точках (±1,0)(\pm1,0) достигается глобальный
минимум; в них график имеет вертикальные полукасательные.

Вторая производная имеет видy′′=−6x4+3x2+2(x2−1)32(2x2−1)3y''=\frac{-6x^4+3x^2+2}
{(x^2-1)^{\frac32}(2x^2-1)^3}Уравнение числителя даётx2=3+5712<1x^2=\frac{3+\sqrt{57}}{12}<1и потому не имеет решений во внутренности области определения.
Здесь y′′<0y''<0 при ∣x∣>1|x|>1, поэтому точек перегиба нет.
Для нахождения асимптот заметим, чтоlim⁡x→+∞(y−x2)=0,lim⁡x→−∞(y+x2)=0\lim_{x\to+\infty}\left(y-\frac{x}{2}\right)=0,
\qquad
\lim_{x\to-\infty}\left(y+\frac{x}{2}\right)=0Следовательно, наклонные асимптоты равны y=x2y=\frac{x}{2} справа
и y=−x2y=-\frac{x}{2} слева. Кроме того, при ∣x∣⩾1|x|\geqslant1(2x2−1)2−4x2(x2−1)=1>0(2x^2-1)^2-4x^2(x^2-1)=1>0Поскольку обе сравниваемые величины неотрицательны,(y∣x∣/2)2=4x2(x2−1)(2x2−1)2<1\left(\frac{y}{|x|/2}\right)^2
=\frac{4x^2(x^2-1)}{(2x^2-1)^2}<1Следовательно,0⩽y<∣x∣20\leqslant y<\frac{|x|}{2}поэтому обе ветви лежат ниже соответствующих асимптот и не пересекают
их.

Построение графика

Строим правую ветвь от точки (1,0)(1,0) с учётом
вертикальной полукасательной и асимптоты y=x2y=\frac{x}{2}, затем
отражаем её относительно оси OyOy.график к задаче Демидовича № 1492

Ответ

Функция чётная; минимумы равны нулю при x=±1x=\pm1.
Наклонные асимптоты: y=−x2y=-\frac{x}{2} при x→−∞x\to-\infty и
y=x2y=\frac{x}{2} при x→+∞x\to+\infty. Точек перегиба нет.

Проверка

Положим v=x2−1v=x^2-1, w=2x2−1w=2x^2-1. По правилу частногоy′=(2xv+x3/v)w−4x3vw2=x[(3x2−2)(2x2−1)−4x2(x2−1)]v w2.y'=\frac{(2x\sqrt v+x^3/\sqrt v)w-4x^3\sqrt v}{w^2}
=\frac{x[(3x^2-2)(2x^2-1)-4x^2(x^2-1)]}{\sqrt v\,w^2}.В скобке (6x4−7x2+2)−(4x4−4x2)=2x4−3x2+2(6x^4-7x^2+2)-(4x^4-4x^2)=2x^4-3x^2+2. Ещё одно дифференцирование даёт числитель второй производной(10x4−9x2+2)(x2−1)(2x2−1)−x(2x4−3x2+2){x(2x2−1)+8x(x2−1)}(10x^4-9x^2+2)(x^2-1)(2x^2-1)-x(2x^4-3x^2+2)\{x(2x^2-1)+8x(x^2-1)\}=(20x8−48x6+41x4−15x2+2)−(20x8−48x6+47x4−18x2)=−6x4+3x2+2.=(20x^8-48x^6+41x^4-15x^2+2)-(20x^8-48x^6+47x^4-18x^2)
=-6x^4+3x^2+2.При u=x2>1u=x^2>1 этот числитель отрицателен: функция −6u2+3u+2-6u^2+3u+2 убывает при u⩾1u\geqslant1, а в u=1u=1 равна −1-1.

Для асимптот можно избежать неопределённой разности. Положим q=y/(∣x∣/2)q=y/(|x|/2). Из вычисленного выше тождества 1−q2=1/(2x2−1)21-q^2=1/(2x^2-1)^2 следует∣x∣2−y=∣x∣2(2x2−1)2(1+q)⟶0.\frac{|x|}2-y=\frac{|x|}{2(2x^2-1)^2(1+q)}\longrightarrow0.В точке x=1x=1 при h↓0h\downarrow0 имеем y(1+h)/h=[(1+h)2/(2(1+h)2−1)](2+h)/h→+∞y(1+h)/h=[(1+h)^2/(2(1+h)^2-1)]\sqrt{(2+h)/h}\to+\infty. Это доказывает вертикальную полукасательную; для x=−1x=-1 используем чётность.
Демидович № 1492 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика