Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1492

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1492

Построить график функцииy=x2x2−12x2−1y=\frac{x^2\sqrt{x^2-1}}{2x^2-1}
ПостроениеФункция чётная; минимумы равны нулю при x=±1x=\pm1.
Наклонные асимптоты: y=−x2y=-\frac{x}{2} при x→−∞x\to-\infty и
y=x2y=\frac{x}{2} при x→+∞x\to+\infty. Точек перегиба нет.

Построение

Идея

Из условия подкоренного выражения получаемD(y)=(−∞,−1]∪[1,+∞)D(y)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)На этой области знаменатель не обращается в нуль. Функция чётная и
неотрицательная, причём y(±1)=0y(\pm1)=0.
  1. 1
    При ∣x∣>1|x|>1 первая производная равнаy′=x(2x4−3x2+2)x2−1(2x2−1)2y'=\frac{x(2x^4-3x^2+2)}
    {\sqrt{x^2-1}(2x^2-1)^2}    Квадратный трёхчлен относительно u=x2u=x^22u2−3u+22u^2-3u+2положителен при всех uu, поскольку его дискриминант равен −7-7.
    Следовательно, функция убывает на (−∞,−1]( -\infty,-1] и возрастает на
    [1,+∞)[1,+\infty). В точках (±1,0)(\pm1,0) достигается глобальный
    минимум; в них график имеет вертикальные полукасательные.

    Вторая производная имеет видy′′=−6x4+3x2+2(x2−1)32(2x2−1)3y''=\frac{-6x^4+3x^2+2}
    {(x^2-1)^{\frac32}(2x^2-1)^3}    Уравнение числителя даётx2=3+5712<1x^2=\frac{3+\sqrt{57}}{12}<1и потому не имеет решений во внутренности области определения.
    Здесь y′′<0y''<0 при ∣x∣>1|x|>1, поэтому точек перегиба нет.
  2. 2
    Для нахождения асимптот заметим, чтоlim⁡x→+∞(y−x2)=0,lim⁡x→−∞(y+x2)=0\lim_{x\to+\infty}\left(y-\frac{x}{2}\right)=0,
    \qquad
    \lim_{x\to-\infty}\left(y+\frac{x}{2}\right)=0    Следовательно, наклонные асимптоты равны y=x2y=\frac{x}{2} справа
    и y=−x2y=-\frac{x}{2} слева. Кроме того, при ∣x∣⩾1|x|\geqslant1(2x2−1)2−4x2(x2−1)=1>0(2x^2-1)^2-4x^2(x^2-1)=1>0Поскольку обе сравниваемые величины неотрицательны,(y∣x∣/2)2=4x2(x2−1)(2x2−1)2<1\left(\frac{y}{|x|/2}\right)^2
    =\frac{4x^2(x^2-1)}{(2x^2-1)^2}<1    Следовательно,0⩽y<∣x∣20\leqslant y<\frac{|x|}{2}поэтому обе ветви лежат ниже соответствующих асимптот и не пересекают
    их.
  3. 3

    Построение графика

    Строим правую ветвь от точки (1,0)(1,0) с учётом
    вертикальной полукасательной и асимптоты y=x2y=\frac{x}{2}, затем
    отражаем её относительно оси OyOy.график к задаче Демидовича № 1492

Проверка

Ответ. Функция чётная; минимумы равны нулю при x=±1x=\pm1.
Наклонные асимптоты: y=−x2y=-\frac{x}{2} при x→−∞x\to-\infty и
y=x2y=\frac{x}{2} при x→+∞x\to+\infty. Точек перегиба нет.
Демидович № 1492 — решение и ответ