Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1491

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1491

Построить график функцииy=xx2−13y=\frac{x}{\sqrt[3]{x^2-1}}
ПостроениеВертикальные асимптоты: x=±1x=\pm1. Локальный максимум
достигается при x=−3x=-\sqrt3, локальный минимум — при
x=3x=\sqrt3. Точки перегиба имеют абсциссы −3-3, 00, 33.

Построение

Область определения и свойство симметрии имеют видD(y)=R∖{−1,1},y(−x)=−y(x)D(y)=\mathbb R\setminus\{-1,1\},
\qquad
y(-x)=-y(x)Единственный нуль равен x=0x=0. Односторонние пределы у разрывов:lim⁡x→−1−y=−∞,lim⁡x→−1+y=+∞,lim⁡x→1−y=−∞,lim⁡x→1+y=+∞\begin{aligned}
&\lim_{x\to-1-}y=-\infty,
&&\lim_{x\to-1+}y=+\infty,\\
&\lim_{x\to1-}y=-\infty,
&&\lim_{x\to1+}y=+\infty
\end{aligned}Поэтому x=−1x=-1 и x=1x=1 --- вертикальные асимптоты. При
∣x∣→∞|x|\to\infty график приближается к кривой
y=x3y=\sqrt[3]{x}, причёмy−x3⟶0y-\sqrt[3]{x}\longrightarrow0Это асимптотическая кривая, но не линейная асимптота.
Первая производная равнаy′=x2−33(x2−1)43y'=\frac{x^2-3}{3(x^2-1)^{\frac43}}Знаменатель положителен во всех точках области определения. Поэтому
функция возрастает на (−∞,−3)( -\infty,-\sqrt3), убывает на
(−3,−1)(-\sqrt3,-1), (−1,1)(-1,1) и (1,3)(1,\sqrt3), затем возрастает на
(3,+∞)(\sqrt3,+\infty). Экстремумы имеют координатыA(−3,−323),B(3,323)A\left(-\sqrt3,-\frac{\sqrt3}{\sqrt[3]{2}}\right),
\qquad
B\left(\sqrt3,\frac{\sqrt3}{\sqrt[3]{2}}\right)Точка AA является локальным максимумом левой ветви, а точка
BB --- локальным минимумом правой ветви.

Вторая производная имеет видy′′=2x(9−x2)9(x2−1)73y''=\frac{2x(9-x^2)}{9(x^2-1)^{\frac73}}Она меняет знак при x=−3x=-3, x=0x=0 и x=3x=3. Следовательно,
точки перегиба равныC−(−3,−32),C0(0,0),C+(3,32)C_-\left(-3,-\frac32\right),
\qquad
C_0(0,0),
\qquad
C_+\left(3,\frac32\right)

Построение графика

Строим три ветви, разделённые асимптотами
x=±1x=\pm1. На внешних ветвях отмечаем экстремумы и точки перегиба,
на средней --- точку (0,0)(0,0). Оранжевым цветом отмечены точки
перегиба.график к задаче Демидовича № 1491

Ответ

Вертикальные асимптоты: x=±1x=\pm1. Локальный максимум
достигается при x=−3x=-\sqrt3, локальный минимум --- при
x=3x=\sqrt3. Точки перегиба имеют абсциссы −3-3, 00, 33.

Проверка

Считаем степени с нечётным знаменателем через действительный кубический корень. По правилу произведенияy′=(x2−1)−1/3−2x23(x2−1)−4/3=3(x2−1)−2x23(x2−1)4/3,y'=(x^2-1)^{-1/3}-\frac{2x^2}{3}(x^2-1)^{-4/3}
=\frac{3(x^2-1)-2x^2}{3(x^2-1)^{4/3}},y′′=2x3(x2−1)−4/3−8x(x2−3)9(x2−1)−7/3=6x(x2−1)−8x(x2−3)9(x2−1)7/3.y''=\frac{2x}{3}(x^2-1)^{-4/3}-\frac{8x(x^2-3)}9(x^2-1)^{-7/3}
=\frac{6x(x^2-1)-8x(x^2-3)}{9(x^2-1)^{7/3}}.Числитель последней дроби равен 2x(9−x2)2x(9-x^2). Знаки y′′y'' на интервалах с границами −3,−1,0,1,3-3,-1,0,1,3 последовательно равны +,−,+,−,+,−+,-,+,-,+,-. Точки ±1\pm1 исключены из области определения и перегибами не являются.

При ∣x∣>1|x|>1 запишем y=x3(1−x−2)−1/3y=\sqrt[3]x(1-x^{-2})^{-1/3}. По теореме Лагранжа (1−u)−1/3−1=O(u)(1-u)^{-1/3}-1=O(u) при u→0u\to0, так как производная (1−u)−4/3/3(1-u)^{-4/3}/3 ограничена около нуля. Поэтому y−x3=O(∣x∣−5/3)→0y-\sqrt[3]x=O(|x|^{-5/3})\to0. Ординаты перегибов при x=±3x=\pm3 равны ±3/83=±3/2\pm3/\sqrt[3]8=\pm3/2.
Демидович № 1491 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика