Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1491

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1491

Построить график функцииy=xx2−13y=\frac{x}{\sqrt[3]{x^2-1}}
ПостроениеВертикальные асимптоты: x=±1x=\pm1. Локальный максимум
достигается при x=−3x=-\sqrt3, локальный минимум — при
x=3x=\sqrt3. Точки перегиба имеют абсциссы −3-3, 00, 33.

Построение

Идея

Область определения и свойство симметрии имеют видD(y)=R∖{−1,1},y(−x)=−y(x)D(y)=\mathbb R\setminus\{-1,1\},
\qquad
y(-x)=-y(x)Единственный нуль равен x=0x=0. Односторонние пределы у разрывов:lim⁡x→−1−y=−∞,lim⁡x→−1+y=+∞,lim⁡x→1−y=−∞,lim⁡x→1+y=+∞\begin{aligned}
&\lim_{x\to-1-}y=-\infty,
&&\lim_{x\to-1+}y=+\infty,\\
&\lim_{x\to1-}y=-\infty,
&&\lim_{x\to1+}y=+\infty
\end{aligned}Поэтому x=−1x=-1 и x=1x=1 — вертикальные асимптоты. При
∣x∣→∞|x|\to\infty график приближается к кривой
y=x3y=\sqrt[3]{x}, причёмy−x3⟶0y-\sqrt[3]{x}\longrightarrow0Это асимптотическая кривая, но не линейная асимптота.
  1. 1
    Первая производная равнаy′=x2−33(x2−1)43y'=\frac{x^2-3}{3(x^2-1)^{\frac43}}Знаменатель положителен во всех точках области определения. Поэтому
    функция возрастает на (−∞,−3)( -\infty,-\sqrt3), убывает на
    (−3,−1)(-\sqrt3,-1), (−1,1)(-1,1) и (1,3)(1,\sqrt3), затем возрастает на
    (3,+∞)(\sqrt3,+\infty). Экстремумы имеют координатыA(−3,−323),B(3,323)A\left(-\sqrt3,-\frac{\sqrt3}{\sqrt[3]{2}}\right),
    \qquad
    B\left(\sqrt3,\frac{\sqrt3}{\sqrt[3]{2}}\right)    Точка AA является локальным максимумом левой ветви, а точка
    BB — локальным минимумом правой ветви.

    Вторая производная имеет видy′′=2x(9−x2)9(x2−1)73y''=\frac{2x(9-x^2)}{9(x^2-1)^{\frac73}}Она меняет знак при x=−3x=-3, x=0x=0 и x=3x=3. Следовательно,
    точки перегиба равныC−(−3,−32),C0(0,0),C+(3,32)C_-\left(-3,-\frac32\right),
    \qquad
    C_0(0,0),
    \qquad
    C_+\left(3,\frac32\right)
  2. 2

    Построение графика

    Строим три ветви, разделённые асимптотами
    x=±1x=\pm1. На внешних ветвях отмечаем экстремумы и точки перегиба,
    на средней — точку (0,0)(0,0). Оранжевым цветом отмечены точки
    перегиба.график к задаче Демидовича № 1491

Проверка

Ответ. Вертикальные асимптоты: x=±1x=\pm1. Локальный максимум
достигается при x=−3x=-\sqrt3, локальный минимум — при
x=3x=\sqrt3. Точки перегиба имеют абсциссы −3-3, 00, 33.
Демидович № 1491 — решение и ответ