Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1490

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1490

Построить график функцииy=(x+1)23−(x−1)23y=(x+1)^{\frac23}-(x-1)^{\frac23}
ПостроениеФункция нечётная; минимум равен −43-\sqrt[3]{4} при
x=−1x=-1, максимум равен 43\sqrt[3]{4} при x=1x=1, точка
перегиба — (0,0)(0,0), горизонтальная асимптота — y=0y=0.

Построение

Функция определена при всех xx, причёмy=∣x+1∣23−∣x−1∣23y=|x+1|^{\frac23}-|x-1|^{\frac23}Она нечётная и обращается в нуль только при x=0x=0. В точках
x=±1x=\pm1 имеемy(−1)=−43,y(1)=43y(-1)=-\sqrt[3]{4},
\qquad
y(1)=\sqrt[3]{4}
Для x≠±1x\ne\pm1y′=23(1x+13−1x−13)y'=\frac23\left(
\frac{1}{\sqrt[3]{x+1}}-
\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}
\right)Функция убывает на (−∞,−1)( -\infty,-1), возрастает на (−1,1)(-1,1)
и убывает на (1,+∞)(1,+\infty). Поэтому в точке
(−1,−43)(-1,-\sqrt[3]{4}) достигается локальный минимум, а в точке
(1,43)(1,\sqrt[3]{4}) --- локальный максимум. Обе точки являются
остриями с вертикальными полукасательными.

Вторая производная имеет видy′′=29(1∣x−1∣43−1∣x+1∣43)y''=\frac29\left(
\frac{1}{|x-1|^{\frac43}}-
\frac{1}{|x+1|^{\frac43}}
\right)Она отрицательна при x<0x<0 и положительна при x>0x>0, поэтому
(0,0)(0,0) --- точка перегиба. Кроме того,lim⁡x→±∞y=0\lim_{x\to\pm\infty}y=0Следовательно, y=0y=0 является горизонтальной асимптотой.

Построение графика

График строим по характерным точкам
(−1,−43)(-1,-\sqrt[3]{4}), (0,0)(0,0), (1,43)(1,\sqrt[3]{4}) с учётом
нечётности и горизонтальной асимптоты. Оранжевым цветом отмечена
точка перегиба.график к задаче Демидовича № 1490

Ответ

Функция нечётная; минимум равен −43-\sqrt[3]{4} при
x=−1x=-1, максимум равен 43\sqrt[3]{4} при x=1x=1, точка
перегиба --- (0,0)(0,0), горизонтальная асимптота --- y=0y=0.

Проверка

Для асимптоты применим теорему Лагранжа к u2/3u^{2/3} на [x−1,x+1][x-1,x+1], где x>1x>1. Существует ξ∈(x−1,x+1)\xi\in(x-1,x+1), для которогоy=2⋅1⋅23ξ−1/3=43ξ3⟶0.y=2\cdot 1\cdot\frac23\xi^{-1/3}=\frac{4}{3\sqrt[3]{\xi}}\longrightarrow0.Левый предел следует из нечётности. По знакам производной и этим пределам указанные экстремумы являются также абсолютными.

В точке x=1x=1 приращение слагаемого ∣x+1∣2/3|x+1|^{2/3} после деления на hh имеет конечный предел. Вклад второго слагаемого равен −∣h∣2/3/h=−sgn⁡(h)∣h∣−1/3-|h|^{2/3}/h=-\operatorname{sgn}(h)|h|^{-1/3}: слева он стремится к +∞+\infty, справа к −∞-\infty. Поэтому в точке максимума имеется остриё. Для x=−1x=-1 вывод получается по нечётности. Формулы для y′′y'' действуют только при x≠±1x\ne\pm 1; переход через эти острия не меняет знак y′′y'' на соответствующей полупрямой.
Демидович № 1490 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика