Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1490

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1490

Построить график функцииy=(x+1)23−(x−1)23y=(x+1)^{\frac23}-(x-1)^{\frac23}
ПостроениеФункция нечётная; минимум равен −43-\sqrt[3]{4} при
x=−1x=-1, максимум равен 43\sqrt[3]{4} при x=1x=1, точка
перегиба — (0,0)(0,0), горизонтальная асимптота — y=0y=0.

Построение

Идея

Функция определена при всех xx, причёмy=∣x+1∣23−∣x−1∣23y=|x+1|^{\frac23}-|x-1|^{\frac23}Она нечётная и обращается в нуль только при x=0x=0. В точках
x=±1x=\pm1 имеемy(−1)=−43,y(1)=43y(-1)=-\sqrt[3]{4},
\qquad
y(1)=\sqrt[3]{4}
  1. 1
    Для x≠±1x\ne\pm1y′=23(1x+13−1x−13)y'=\frac23\left(
    \frac{1}{\sqrt[3]{x+1}}-
    \frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}
    \right)    Функция убывает на (−∞,−1)( -\infty,-1), возрастает на (−1,1)(-1,1)
    и убывает на (1,+∞)(1,+\infty). Поэтому в точке
    (−1,−43)(-1,-\sqrt[3]{4}) достигается локальный минимум, а в точке
    (1,43)(1,\sqrt[3]{4}) — локальный максимум. Обе точки являются
    остриями с вертикальными полукасательными.

    Вторая производная имеет видy′′=29(1∣x−1∣43−1∣x+1∣43)y''=\frac29\left(
    \frac{1}{|x-1|^{\frac43}}-
    \frac{1}{|x+1|^{\frac43}}
    \right)    Она отрицательна при x<0x<0 и положительна при x>0x>0, поэтому
    (0,0)(0,0) — точка перегиба. Кроме того,lim⁡x→±∞y=0\lim_{x\to\pm\infty}y=0Следовательно, y=0y=0 является горизонтальной асимптотой.
  2. 2

    Построение графика

    График строим по характерным точкам
    (−1,−43)(-1,-\sqrt[3]{4}), (0,0)(0,0), (1,43)(1,\sqrt[3]{4}) с учётом
    нечётности и горизонтальной асимптоты. Оранжевым цветом отмечена
    точка перегиба.график к задаче Демидовича № 1490

Проверка

Ответ. Функция нечётная; минимум равен −43-\sqrt[3]{4} при
x=−1x=-1, максимум равен 43\sqrt[3]{4} при x=1x=1, точка
перегиба — (0,0)(0,0), горизонтальная асимптота — y=0y=0.
Демидович № 1490 — решение и ответ