Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1489

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1489

Построить график функцииy=(x+2)23−(x−2)23y=(x+2)^{\frac23}-(x-2)^{\frac23}
ПостроениеФункция нечётная; минимум равен −163-\sqrt[3]{16} при
x=−2x=-2, максимум равен 163\sqrt[3]{16} при x=2x=2, точка
перегиба — (0,0)(0,0), горизонтальная асимптота — y=0y=0.

Построение

Идея

Под степенью 23\frac23 понимается действительное значениеu23=(u3)2=∣u∣23u^{\frac23}=\bigl(\sqrt[3]{u}\bigr)^2=|u|^{\frac23}Поэтому функция определена на всей числовой прямой. Она нечётная:y(−x)=−y(x)y(-x)=-y(x)Единственный нуль равен x=0x=0. В точках x=±2x=\pm2 функция
не имеет конечной производной, причёмy(−2)=−163,y(2)=163y(-2)=-\sqrt[3]{16},
\qquad
y(2)=\sqrt[3]{16}
  1. 1
    При x≠±2x\ne\pm2y′=23(1x+23−1x−23)y'=\frac23\left(
    \frac{1}{\sqrt[3]{x+2}}-
    \frac{1}{\sqrt[3]{x-2}}
    \right)    Отсюда функция убывает на (−∞,−2)( -\infty,-2), возрастает на
    (−2,2)(-2,2) и убывает на (2,+∞)(2,+\infty). Следовательно,
    (−2,−163)(-2,-\sqrt[3]{16}) — точка локального минимума, а
    (2,163)(2,\sqrt[3]{16}) — точка локального максимума. В обеих точках
    график имеет острие с вертикальными полукасательными.

    Вторая производная равнаy′′=29(1∣x−2∣43−1∣x+2∣43)y''=\frac29\left(
    \frac{1}{|x-2|^{\frac43}}-
    \frac{1}{|x+2|^{\frac43}}
    \right)    При x<0x<0 имеем y′′<0y''<0, а при x>0x>0 — y′′>0y''>0.
    Поэтому (0,0)(0,0) является точкой перегиба. Наконец,lim⁡x→±∞y=0\lim_{x\to\pm\infty}y=0Прямая y=0y=0 служит горизонтальной асимптотой на обоих концах
    графика.
  2. 2

    Построение графика

    Строим правую половину по точкам
    (0,0)(0,0), (2,163)(2,\sqrt[3]{16}) и горизонтальной асимптоте
    y=0y=0, затем используем центральную симметрию. Оранжевым цветом
    отмечена точка перегиба.график к задаче Демидовича № 1489

Проверка

Ответ. Функция нечётная; минимум равен −163-\sqrt[3]{16} при
x=−2x=-2, максимум равен 163\sqrt[3]{16} при x=2x=2, точка
перегиба — (0,0)(0,0), горизонтальная асимптота — y=0y=0.
Демидович № 1489 — решение и ответ