Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1489

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1489

Построить график функцииy=(x+2)23−(x−2)23y=(x+2)^{\frac23}-(x-2)^{\frac23}
ПостроениеФункция нечётная; минимум равен −163-\sqrt[3]{16} при
x=−2x=-2, максимум равен 163\sqrt[3]{16} при x=2x=2, точка
перегиба — (0,0)(0,0), горизонтальная асимптота — y=0y=0.

Построение

Под степенью 23\frac23 понимается действительное значениеu23=(u3)2=∣u∣23u^{\frac23}=\bigl(\sqrt[3]{u}\bigr)^2=|u|^{\frac23}Поэтому функция определена на всей числовой прямой. Она нечётная:y(−x)=−y(x)y(-x)=-y(x)Единственный нуль равен x=0x=0. В точках x=±2x=\pm2 функция
не имеет конечной производной, причёмy(−2)=−163,y(2)=163y(-2)=-\sqrt[3]{16},
\qquad
y(2)=\sqrt[3]{16}
При x≠±2x\ne\pm2y′=23(1x+23−1x−23)y'=\frac23\left(
\frac{1}{\sqrt[3]{x+2}}-
\frac{1}{\sqrt[3]{x-2}}
\right)Отсюда функция убывает на (−∞,−2)( -\infty,-2), возрастает на
(−2,2)(-2,2) и убывает на (2,+∞)(2,+\infty). Следовательно,
(−2,−163)(-2,-\sqrt[3]{16}) --- точка локального минимума, а
(2,163)(2,\sqrt[3]{16}) --- точка локального максимума. В обеих точках
график имеет острие с вертикальными полукасательными.

Вторая производная равнаy′′=29(1∣x−2∣43−1∣x+2∣43)y''=\frac29\left(
\frac{1}{|x-2|^{\frac43}}-
\frac{1}{|x+2|^{\frac43}}
\right)При x<0x<0 имеем y′′<0y''<0, а при x>0x>0 --- y′′>0y''>0.
Поэтому (0,0)(0,0) является точкой перегиба. Наконец,lim⁡x→±∞y=0\lim_{x\to\pm\infty}y=0Прямая y=0y=0 служит горизонтальной асимптотой на обоих концах
графика.

Построение графика

Строим правую половину по точкам
(0,0)(0,0), (2,163)(2,\sqrt[3]{16}) и горизонтальной асимптоте
y=0y=0, затем используем центральную симметрию. Оранжевым цветом
отмечена точка перегиба.график к задаче Демидовича № 1489

Ответ

Функция нечётная; минимум равен −163-\sqrt[3]{16} при
x=−2x=-2, максимум равен 163\sqrt[3]{16} при x=2x=2, точка
перегиба --- (0,0)(0,0), горизонтальная асимптота --- y=0y=0.

Проверка

Для асимптоты применим теорему Лагранжа к u2/3u^{2/3} на [x−2,x+2][x-2,x+2], где x>2x>2. Существует ξ∈(x−2,x+2)\xi\in(x-2,x+2), для которогоy=2⋅2⋅23ξ−1/3=83ξ3⟶0.y=2\cdot 2\cdot\frac23\xi^{-1/3}=\frac{8}{3\sqrt[3]{\xi}}\longrightarrow0.Левый предел следует из нечётности. По знакам производной и этим пределам указанные экстремумы являются также абсолютными.

В точке x=2x=2 приращение слагаемого ∣x+2∣2/3|x+2|^{2/3} после деления на hh имеет конечный предел. Вклад второго слагаемого равен −∣h∣2/3/h=−sgn⁡(h)∣h∣−1/3-|h|^{2/3}/h=-\operatorname{sgn}(h)|h|^{-1/3}: слева он стремится к +∞+\infty, справа к −∞-\infty. Поэтому в точке максимума имеется остриё. Для x=−2x=-2 вывод получается по нечётности. Формулы для y′′y'' действуют только при x≠±2x\ne\pm 2; переход через эти острия не меняет знак y′′y'' на соответствующей полупрямой.
Демидович № 1489 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика