Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1488

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1488

Построить график функцииy=x23−x2+13y=\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x^2+1}
ПостроениеФункция чётная, отрицательная и имеет горизонтальную
асимптоту y=0y=0. Она убывает на (−∞,0)(-\infty,0), возрастает на
(0,+∞)(0,+\infty) и достигает абсолютного минимума y(0)=−1y(0)=-1 в острие.

Построение

Функция определена на всей числовой прямой и является чётной. Поскольку
x2+1>x2x^2+1>x^2, для любого xxy<0y<0Следовательно, нулей нет. На оси OyOyy(0)=−1y(0)=-1
Используем формулу разности кубов:y=x23−x2+13==−1x43+x2(x2+1)3+(x2+1)23\begin{aligned}
y&=\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x^2+1}=\\
&=-\frac1{
\sqrt[3]{x^4}
+\sqrt[3]{x^2(x^2+1)}
+\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}
\end{aligned}Отсюдаlim⁡x→±∞y=0\lim_{x\to\pm\infty}y=0Поэтому y=0y=0 --- горизонтальная асимптота, к которой график подходит
снизу.

Для x>0x>0y′=23(x−1/3−x(x2+1)2/3)>0y'=\frac23\left(
x^{-1/3}-\frac{x}{(x^2+1)^{2/3}}
\right)>0поскольку(x2+1)2/3>x4/3(x^2+1)^{2/3}>x^{4/3}По чётности y′<0y'<0 при x<0x<0. Значит, функция убывает на
(−∞,0)(-\infty,0), возрастает на (0,+∞)(0,+\infty) и имеет абсолютный
минимум (0,−1)(0,-1). При x→0−x\to0^- производная стремится к
−∞-\infty, а при x→0+x\to0^+ --- к +∞+\infty, поэтому в точке (0,−1)(0,-1) находится остриё.

Для x>0x>0y′′=29(−x−4/3+x2−3(x2+1)5/3)<0y''=\frac29\left(
-x^{-4/3}+\frac{x^2-3}{(x^2+1)^{5/3}}
\right)<0Если x2⩽3x^2\leqslant3, первое слагаемое строго отрицательно, а второе неположительно. Если
x2>3x^2>3, положим t=x2t=x^2. Тогда t>3t>3 иt2(t−3)3<(t+1)2(t+1)3=(t+1)5t^2(t-3)^3<(t+1)^2(t+1)^3=(t+1)^5поскольку t<t+1t<t+1 и t−3<t+1t-3<t+1. Извлекая кубический корень из положительных величин и деля на (t+1)5/3t2/3(t+1)^{5/3}t^{2/3}, получаем (t−3)/(t+1)5/3<t−2/3=x−4/3(t-3)/(t+1)^{5/3}<t^{-2/3}=x^{-4/3}. Это и доказывает отрицательность скобки.
По чётности вторая производная отрицательна и при x<0x<0. Таким образом,
на каждом из интервалов (−∞,0)(-\infty,0) и (0,+∞)(0,+\infty) график лежит ниже своих касательных; точек перегиба нет.

Построение графика

Две симметричные ветви подходят снизу к оси OxOx,
опускаются к острию (0,−1)(0,-1) и снова приближаются к горизонтальной
асимптоте y=0y=0. график к задаче Демидовича № 1488

Ответ

Функция чётная, отрицательная и имеет горизонтальную
асимптоту y=0y=0. Она убывает на (−∞,0)(-\infty,0), возрастает на
(0,+∞)(0,+\infty) и достигает абсолютного минимума y(0)=−1y(0)=-1 в острие.

Проверка

При дифференцировании x(x2+1)−2/3x(x^2+1)^{-2/3} получаем (x2+1)−2/3−(4/3)x2(x2+1)−5/3(x^2+1)^{-2/3}-(4/3)x^2(x^2+1)^{-5/3}. Приведение к общему знаменателю даёт указанное выражение для y′′y''.

Проверим касательную в острие непосредственно:y(h)−y(0)h=∣h∣2/3h−1+h23−1h.\frac{y(h)-y(0)}h=\frac{|h|^{2/3}}h-\frac{\sqrt[3]{1+h^2}-1}h.Второе слагаемое после умножения на сумму попарных произведений кубических корней равно h/[(1+h2)2/3+(1+h2)1/3+1]→0h/[(1+h^2)^{2/3}+(1+h^2)^{1/3}+1]\to0. Первое равно sgn⁡(h)∣h∣−1/3\operatorname{sgn}(h)|h|^{-1/3} и имеет пределы −∞-\infty слева и +∞+\infty справа.
Демидович № 1488 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика