Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1488

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1488

Построить график функцииy=x23−x2+13y=\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x^2+1}
ПостроениеФункция чётная, отрицательная и имеет горизонтальную
асимптоту y=0y=0. Она убывает на (−∞,0)(-\infty,0), возрастает на
(0,+∞)(0,+\infty) и достигает абсолютного минимума y(0)=−1y(0)=-1 в острие.

Построение

Идея

Функция определена на всей числовой прямой и является чётной. Поскольку
x2+1>x2x^2+1>x^2, для любого xxy<0y<0Следовательно, нулей нет. В начале координатy(0)=−1y(0)=-1
  1. 1
    Используем формулу разности кубов:y=x23−x2+13==−1x43+x2(x2+1)3+(x2+1)23\begin{aligned}
    y&=\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x^2+1}=\\
    &=-\frac1{
    \sqrt[3]{x^4}
    +\sqrt[3]{x^2(x^2+1)}
    +\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}
    \end{aligned}    Отсюдаlim⁡x→±∞y=0\lim_{x\to\pm\infty}y=0Поэтому y=0y=0 — горизонтальная асимптота, к которой график подходит
    снизу.

    Для x>0x>0y′=23(x−1/3−x(x2+1)2/3)>0y'=\frac23\left(
    x^{-1/3}-\frac{x}{(x^2+1)^{2/3}}
    \right)>0    поскольку(x2+1)2/3>x4/3(x^2+1)^{2/3}>x^{4/3}По чётности y′<0y'<0 при x<0x<0. Значит, функция убывает на
    (−∞,0)(-\infty,0), возрастает на (0,+∞)(0,+\infty) и имеет абсолютный
    минимум (0,−1)(0,-1). При x→0−x\to0^- производная стремится к
    −∞-\infty, а при x→0+x\to0^+ — к +∞+\infty, поэтому в начале
    координат находится остриё.

    Для x>0x>0y′′=29(−x−4/3+x2−3(x2+1)5/3)<0y''=\frac29\left(
    -x^{-4/3}+\frac{x^2-3}{(x^2+1)^{5/3}}
    \right)<0    Если x2⩽3x^2\leqslant3, неравенство очевидно по знакам слагаемых. Если
    x2>3x^2>3, положим t=x2t=x^2. Тогда t>3t>3 иt2(t−3)3<(t+1)2(t+1)3=(t+1)5t^2(t-3)^3<(t+1)^2(t+1)^3=(t+1)^5поскольку t<t+1t<t+1 и t−3<t+1t-3<t+1. Это даёт требуемое неравенство.
    По чётности вторая производная отрицательна и при x<0x<0. Таким образом,
    обе ветви выпуклы вниз; точек перегиба нет.
  2. 2

    Построение графика

    Две симметричные ветви подходят снизу к оси OxOx,
    опускаются к острию (0,−1)(0,-1) и снова приближаются к горизонтальной
    асимптоте y=0y=0. Непрерывные ветви доведены до границ окна.график к задаче Демидовича № 1488

Проверка

Ответ. Функция чётная, отрицательная и имеет горизонтальную
асимптоту y=0y=0. Она убывает на (−∞,0)(-\infty,0), возрастает на
(0,+∞)(0,+\infty) и достигает абсолютного минимума y(0)=−1y(0)=-1 в острие.
Демидович № 1488 — решение и ответ