Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1487

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1487

Построить график функцииy=x3−x2−x+13y=\sqrt[3]{x^3-x^2-x+1}
ПостроениеНаклонная асимптота y=x−13y=x-\frac13. Точка
(−1,0)(-1,0) является точкой перегиба с вертикальной касательной,
(−13,3233)\left(-\frac13,\frac{\sqrt[3]{32}}3\right) — локальным максимумом,
а (1,0)(1,0) — остриём и локальным минимумом.

Построение

Разложим подкоренное выражение на множители:x3−x2−x+1=(x−1)2(x+1)x^3-x^2-x+1=(x-1)^2(x+1)Кубический корень определён при любом действительном аргументе, поэтомуD=RD=\mathbb RНули функции:x=−1,x=1x=-1,
\qquad
x=1Знак функции совпадает со знаком x+1x+1: при x<−1x<-1 функция
отрицательна, а при x>−1x>-1 неотрицательна.
Поскольку y3/x3=1−1/x−1/x2+1/x3→1y^3/x^3=1-1/x-1/x^2+1/x^3\to1, имеем y/x→1y/x\to1. Формула разности кубов даёт y−x=(−x2−x+1)/(y2+xy+x2)→−1/3y-x=(-x^2-x+1)/(y^2+xy+x^2)\to-1/3 после деления числителя и знаменателя на x2x^2. Поэтому при больших по модулю xxx3−x2−x+13=x−13+o(1)\sqrt[3]{x^3-x^2-x+1}=x-\frac13+o(1)Следовательно, наклонная асимптота имеет уравнениеy=x−13y=x-\frac13При x≠−1,1x\ne-1,1 производная равнаy′=(3x+1)(x−1)3((x−1)2(x+1))23y'=\frac{(3x+1)(x-1)}
{3\sqrt[3]{\bigl((x-1)^2(x+1)\bigr)^2}}Знаменатель положителен. Поэтому функция возрастает на
(−∞,−13)(-\infty,-\frac13), убывает на (−13,1)(-\frac13,1) и возрастает на
(1,+∞)(1,+\infty). Точка локального максимума:(−13,3233)\left(-\frac13,\frac{\sqrt[3]{32}}3\right)а в точке (1,0)(1,0) достигается локальный минимум.

В точке (−1,0)(-1,0) график проходит через ось OxOx с вертикальной
касательной. В точке (1,0)(1,0) находится остриё: разностное отношение равно y(1+h)/h=(2+h)/h3y(1+h)/h=\sqrt[3]{(2+h)/h} и стремится к −∞-\infty слева и к +∞+\infty справа.

Вторая производная для x≠−1,1x\ne-1,1 имеет видy′′=−8(x−1)29((x−1)2(x+1))53y''=
\frac{-8(x-1)^2}
{9\sqrt[3]{\bigl((x-1)^2(x+1)\bigr)^5}}Она положительна при x<−1x<-1 и отрицательна при x>−1x>-1, кроме точки
x=1x=1. Поэтому (−1,0)(-1,0) является точкой перегиба с вертикальной
касательной, а в точке x=1x=1 выпуклость не меняется.

Построение графика

График пересекает ось OxOx в точке перегиба
(−1,0)(-1,0), поднимается до локального максимума, затем опускается к
острию (1,0)(1,0) и снова возрастает. На обоих концах он приближается к
наклонной асимптоте y=x−13y=x-\frac13.график к задаче Демидовича № 1487

Ответ

Наклонная асимптота y=x−13y=x-\frac13. Точка
(−1,0)(-1,0) является точкой перегиба с вертикальной касательной,
(−13,3233)\left(-\frac13,\frac{\sqrt[3]{32}}3\right) --- локальным максимумом,
а (1,0)(1,0) --- остриём и локальным минимумом.

Проверка

Покажем вычисления второй производной. Для p=(x−1)2(x+1)p=(x-1)^2(x+1) имеем p′=(x−1)(3x+1)p'=(x-1)(3x+1) и p′′=6x−2p''=6x-2. Поэтомуy′′=3pp′′−2(p′)29p53,y''=\frac{3pp''-2(p')^2}{9\sqrt[3]{p^5}},3pp′′−2(p′)2=(x−1)2{3(x+1)(6x−2)−2(3x+1)2}3pp''-2(p')^2=(x-1)^2\{3(x+1)(6x-2)-2(3x+1)^2\}=(x−1)2{18x2+12x−6−(18x2+12x+2)}=−8(x−1)2.=(x-1)^2\{18x^2+12x-6-(18x^2+12x+2)\}=-8(x-1)^2.При x=−1/3x=-1/3 получаем p=(−4/3)2(2/3)=32/27p=(-4/3)^2(2/3)=32/27, откуда y=323/3y=\sqrt[3]{32}/3.

В точке x=−1x=-1 разностное отношениеy(−1+h)h=(h−2)2h23⟶+∞\frac{y(-1+h)}h=\sqrt[3]{\frac{(h-2)^2}{h^2}}\longrightarrow+\inftyс обеих сторон. Это доказывает вертикальность касательной. Возрастание на двух соседних интервалах продолжается через x=−1x=-1 благодаря непрерывности функции.
Демидович № 1487 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика