Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1487

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1487

Построить график функцииy=x3−x2−x+13y=\sqrt[3]{x^3-x^2-x+1}
ПостроениеНаклонная асимптота y=x−13y=x-\frac13. Точка
(−1,0)(-1,0) является точкой перегиба с вертикальной касательной,
(−13,3233)\left(-\frac13,\frac{\sqrt[3]{32}}3\right) — локальным максимумом,
а (1,0)(1,0) — остриём и локальным минимумом.

Построение

Идея

Разложим подкоренное выражение на множители:x3−x2−x+1=(x−1)2(x+1)x^3-x^2-x+1=(x-1)^2(x+1)Кубический корень определён при любом действительном аргументе, поэтомуD=RD=\mathbb RНули функции:x=−1,x=1x=-1,
\qquad
x=1Знак функции совпадает со знаком x+1x+1: при x<−1x<-1 функция
отрицательна, а при x>−1x>-1 неотрицательна.
  1. 1
    При больших по модулю xxx3−x2−x+13=x−13+o(1)\sqrt[3]{x^3-x^2-x+1}=x-\frac13+o(1)Следовательно, наклонная асимптота имеет уравнениеy=x−13y=x-\frac13При x≠−1,1x\ne-1,1 производная равнаy′=(3x+1)(x−1)3((x−1)2(x+1))23y'=\frac{(3x+1)(x-1)}
    {3\sqrt[3]{\bigl((x-1)^2(x+1)\bigr)^2}}    Знаменатель положителен. Поэтому функция возрастает на
    (−∞,−13)(-\infty,-\frac13), убывает на (−13,1)(-\frac13,1) и возрастает на
    (1,+∞)(1,+\infty). Точка локального максимума:(−13,3233)\left(-\frac13,\frac{\sqrt[3]{32}}3\right)а в точке (1,0)(1,0) достигается локальный минимум.

    В точке (−1,0)(-1,0) график проходит через ось OxOx с вертикальной
    касательной. В точке (1,0)(1,0) находится остриё: левая производная
    стремится к −∞-\infty, а правая — к +∞+\infty.

    Вторая производная для x≠−1,1x\ne-1,1 имеет видy′′=−8(x−1)29((x−1)2(x+1))53y''=
    \frac{-8(x-1)^2}
    {9\sqrt[3]{\bigl((x-1)^2(x+1)\bigr)^5}}    Она положительна при x<−1x<-1 и отрицательна при x>−1x>-1, кроме точки
    x=1x=1. Поэтому (−1,0)(-1,0) является точкой перегиба с вертикальной
    касательной, а в точке x=1x=1 выпуклость не меняется.
  2. 2

    Построение графика

    График пересекает ось OxOx в точке перегиба
    (−1,0)(-1,0), поднимается до локального максимума, затем опускается к
    острию (1,0)(1,0) и снова возрастает. На обоих концах он приближается к
    наклонной асимптоте y=x−13y=x-\frac13.график к задаче Демидовича № 1487

Проверка

Ответ. Наклонная асимптота y=x−13y=x-\frac13. Точка
(−1,0)(-1,0) является точкой перегиба с вертикальной касательной,
(−13,3233)\left(-\frac13,\frac{\sqrt[3]{32}}3\right) — локальным максимумом,
а (1,0)(1,0) — остриём и локальным минимумом.
Демидович № 1487 — решение и ответ