Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1486

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1486

Построить график функцииy=±(x−1)(x−2)(x−3)y=\pm\sqrt{(x-1)(x-2)(x-3)}
ПостроениеОбласть определения [1,2]∪[3,+∞)[1,2]\cup[3,+\infty). На [1,2][1,2] — замкнутая петля; при x⩾3x\geqslant3 — две неограниченные ветви. Вертикальные касательные: x=1,2,3x=1,2,3. Перегибы: (2+t0,±2t0/3)(2+t_0,\pm\sqrt{2t_0/\sqrt3}), где t0=1+2/3t_0=\sqrt{1+2/\sqrt3}.

Построение

Положим t=x−2t=x-2. Тогдаp(x)=(x−1)(x−2)(x−3)=(t+1)t(t−1)=t3−t.p(x)=(x-1)(x-2)(x-3)=(t+1)t(t-1)=t^3-t.По знакам трёх множителей p(x)⩾0p(x)\geqslant0 при 1⩽x⩽21\leqslant x\leqslant2 и x⩾3x\geqslant3. Таким образом, область определения обеих ветвей равна [1,2]∪[3,+∞)[1,2]\cup[3,+\infty). Нижняя ветвь получается отражением верхней относительно OxOx; исследуем верхнюю y=p(x)y=\sqrt{p(x)}.

Во внутренних точках области определенияy′=p′2p,p′=3t2−1.y'=\frac{p'}{2\sqrt p},\qquad p'=3t^2-1.На [1,2][1,2] производная меняет знак с плюса на минус при t=−1/3t=-1/\sqrt3, то есть при x=2−1/3x=2-1/\sqrt3. Подстановка даётp=(−13)(13−1)=233,ymax⁡=233.p=\left(-\frac1{\sqrt3}\right)\left(\frac13-1\right)=\frac2{3\sqrt3},\qquad
y_{\max}=\sqrt{\frac2{3\sqrt3}}.Верхняя и нижняя ветви соединяют точки (1,0)(1,0) и (2,0)(2,0) и образуют замкнутую петлю. При x>3x>3 имеем t>1t>1 и 3t2−1>03t^2-1>0, поэтому верхняя ветвь возрастает неограниченно, а нижняя убывает неограниченно.

Вычислим вторую производную:y′′=2pp′′−(p′)24p3/2,p′′=6t,y''=\frac{2pp''-(p')^2}{4p^{3/2}},\qquad p''=6t,2pp′′−(p′)2=12t(t3−t)−(3t2−1)2=3t4−6t2−1.2pp''-(p')^2=12t(t^3-t)-(3t^2-1)^2=3t^4-6t^2-1.При −1<t<0-1<t<0 положим u=t2∈(0,1)u=t^2\in(0,1). Тогда 3u2−6u−1=3u(u−2)−1<03u^2-6u-1=3u(u-2)-1<0. Верхняя дуга петли лежит ниже своих касательных, нижняя — выше. На неограниченной верхней ветви знак меняется при3u2−6u−1=0,u=1±23.3u^2-6u-1=0,\qquad u=1\pm\frac2{\sqrt3}.Подходит только положительный корень u=1+2/3>1u=1+2/\sqrt3>1. Обозначив t0=1+2/3t_0=\sqrt{1+2/\sqrt3}, получаем две точки перегиба:(2+t0, ±2t03).\left(2+t_0,\ \pm\sqrt{\frac{2t_0}{\sqrt3}}\right).Здесь ординаты вычислены из p=t0(t02−1)=2t0/3p=t_0(t_0^2-1)=2t_0/\sqrt3. На верхней ветви y′′<0y''<0 при 3<x<2+t03<x<2+t_0 и y′′>0y''>0 при x>2+t0x>2+t_0; на нижней знаки противоположны.

Обоснуем вертикальные касательные в точках (r,0)(r,0), где r=1,2,3r=1,2,3. Корни pp простые: p′(1)=2p'(1)=2, p′(2)=−1p'(2)=-1, p′(3)=2p'(3)=2. Поэтому p(x)=(x−r)q(x)p(x)=(x-r)q(x), где q(r)≠0q(r)\ne0. Вдоль любой подходящей ветви∣y(x)−0x−r∣=∣q(x)∣∣x−r∣⟶+∞.\left|\frac{y(x)-0}{x-r}\right|=\sqrt{\frac{|q(x)|}{|x-r|}}\longrightarrow+\infty.Направление секущих стремится к вертикальному; касательные имеют уравнения x=1,2,3x=1,2,3.график к задаче Демидовича № 1486

Ответ: замкнутая петля на [1,2][1,2] и две неограниченные ветви при x⩾3x\geqslant3, симметричные относительно OxOx. Вертикальные касательные находятся при x=1,2,3x=1,2,3; перегибы неограниченных ветвей имеют указанные выше координаты.
Демидович № 1486 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика