Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1486

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1486

Построить график функцииy=±(x−1)(x−2)(x−3)y=\pm\sqrt{(x-1)(x-2)(x-3)}
ПостроениеОбласть определения
D=[1,2]∪[3,+∞)D=[1,2]\cup[3,+\infty). На [1,2][1,2] расположена замкнутая петля;
из точки (3,0)(3,0) выходят две неограниченные ветви. В точках
(1,0)(1,0), (2,0)(2,0), (3,0)(3,0) касательные вертикальны.

Построение

Идея

Обозначимp(x)=(x−1)(x−2)(x−3)p(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Для существования действительных значений необходимо p(x)⩾0p(x)\geqslant0.
Таблица знаков кубического многочлена даётD=[1,2]∪[3,+∞)D=[1,2]\cup[3,+\infty)Кривая симметрична относительно оси OxOx. Обе ветви пересекают ось
OxOx в точках(1,0),(2,0),(3,0)(1,0),
\qquad
(2,0),
\qquad
(3,0)
  1. 1
    На отрезке [1,2][1,2] верхняя и нижняя ветви образуют замкнутую петлю.
    Её наибольшая высота находится из условия p′(x)=0p'(x)=0:p′(x)=3x2−12x+11p'(x)=3x^2-12x+11Корень, принадлежащий [1,2][1,2], равенx0=2−13x_0=2-\frac1{\sqrt3}При этомp(x0)=233,y=±233p(x_0)=\frac{2}{3\sqrt3},
    \qquad
    y=\pm\sqrt{\frac{2}{3\sqrt3}}    Второй корень 2+132+\frac1{\sqrt3} лежит в промежутке (2,3)(2,3), где
    кривая не определена.

    При x>3x>3 многочлен p(x)p(x) строго возрастает, поэтому верхняя ветвь
    неограниченно возрастает, а нижняя неограниченно убывает. В точках
    x=1,2,3x=1,2,3 касательные вертикальны.
  2. 2

    Построение графика

    На [1,2][1,2] построена замкнутая петля. Из точки
    (3,0)(3,0) выходят две неограниченные ветви, симметричные относительно
    оси OxOx. Кривые доходят до границы общего окна и естественно обрезаются
    ею. После общего вида отдельно показана петля в увеличенном масштабе.график к задаче Демидовича № 1486

Проверка

Ответ. Область определения
D=[1,2]∪[3,+∞)D=[1,2]\cup[3,+\infty). На [1,2][1,2] расположена замкнутая петля;
из точки (3,0)(3,0) выходят две неограниченные ветви. В точках
(1,0)(1,0), (2,0)(2,0), (3,0)(3,0) касательные вертикальны.
Демидович № 1486 — решение и ответ