Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1485

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1485

Построить графики функций:а) y=±8x2−x4;б) y=x−2x2+1\text{а) }y=\pm\sqrt{8x^2-x^4};
\qquad
\text{б) }y=\frac{x-2}{\sqrt{x^2+1}}
Построениеа) Две петли y2=8x2−x4y^2=8x^2-x^4, симметричные относительно осей. Характерные точки: (±22,0)(\pm2\sqrt2,0), (0,0)(0,0), (±2,±4)(\pm2,\pm4); касательные в начале координат y=±22 xy=\pm2\sqrt2\,x. б) Горизонтальные асимптоты y=−1y=-1 при x→−∞x\to-\infty и y=1y=1 при x→+∞x\to+\infty; абсолютный минимум −5-\sqrt5 при x=−1/2x=-1/2; нуль x=2x=2.

Построение

Пункт а)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательно:8x2−x4=x2(8−x2)⩾08x^2-x^4=x^2(8-x^2)\geqslant0Отсюда−22⩽x⩽22-2\sqrt2\leqslant x\leqslant2\sqrt2Кривая задаётся уравнениемy2=8x2−x4y^2=8x^2-x^4и симметрична относительно обеих координатных осей. Она пересекает
ось OxOx в точках(−22,0),(0,0),(22,0)(-2\sqrt2,0),
\qquad
(0,0),
\qquad
(2\sqrt2,0)Чтобы найти наибольшую высоту петель, исследуемy2=8x2−x4y^2=8x^2-x^4Производная правой части равна 4x(4−x2)4x(4-x^2) и обращается в нуль при
x=0,±2x=0,\pm2. В точках x=±2x=\pm2 выражение 8x2−x48x^2-x^4 достигает
максимума, равного 1616. Поэтому характерные точки кривой:(±2,±4)(\pm2,\pm4)В точках x=±22x=\pm2\sqrt2 касательные вертикальны. В начале координат
кривая имеет узловую точку. Поскольку при x→0x\to0y2x2=8−x2⟶8\frac{y^2}{x^2}=8-x^2\longrightarrow8касательными в узле являются прямыеy=±22 xy=\pm2\sqrt2\,x

Построение графика

Две замкнутые петли симметричны относительно осей
и пересекаются в узловой точке --- начале координат. На рисунке отмечены концы петель и
точки с наибольшим модулем ординаты.график к задаче Демидовича № 1485

Ответ

Кривая состоит из двух петель, симметричных относительно
обеих осей. Её характерные точки:(±22,0),(0,0),(±2,±4)(\pm2\sqrt2,0),
\qquad
(0,0),
\qquad
(\pm2,\pm4)

Пункт б)

Область определения --- вся числовая прямая. Нуль функции
равен x=2x=2, аy(0)=−2y(0)=-2При x→±∞x\to\pm\inftylim⁡x→−∞y=−1,lim⁡x→+∞y=1\lim_{x\to-\infty}y=-1,
\qquad
\lim_{x\to+\infty}y=1поэтому y=−1y=-1 и y=1y=1 являются горизонтальными асимптотами.

Первая производнаяy′=2x+1(x2+1)3/2y'=\frac{2x+1}{(x^2+1)^{3/2}}отрицательна при x<−12x<-\frac12 и положительна при x>−12x>-\frac12.
Следовательно, функция имеет абсолютный минимумy(−12)=−5y\left(-\frac12\right)=-\sqrt5Множество значений функцииE=[−5,1)E=[-\sqrt5,1)Вторая производнаяy′′=−4x2−3x+2(x2+1)5/2y''=\frac{-4x^2-3x+2}{(x^2+1)^{5/2}}обращается в нуль приx=−3±418x=\frac{-3\pm\sqrt{41}}8В этих точках выпуклость меняется, поэтому обе они являются точками
перегиба.

Построение графика

При x→−∞x\to-\infty кривая подходит к y=−1y=-1 снизу. С ростом xx она убывает до минимума, затем возрастает, пересекает ось OxOx при x=2x=2 и при x→+∞x\to+\infty подходит к y=1y=1 снизу. Обе горизонтальные асимптоты проведены
через всё окно.график к задаче Демидовича № 1485

Ответ

Горизонтальные асимптоты: y=−1y=-1 при
x→−∞x\to-\infty и y=1y=1 при x→+∞x\to+\infty. Абсолютный минимум
y=−5y=-\sqrt5 достигается при x=−12x=-\frac12; нуль функции равен 22.

Проверка

а) Высоты петель получены подстановкой x2=4x^2=4: 8x2−x4=32−16=168x^2-x^4=32-16=16, откуда ∣y∣=4|y|=4. Для проверки вертикальных касательных на концах положим x0=±22x_0=\pm2\sqrt2. При подходе из области определения∣y−0x−x0∣=∣x∣∣x+x0∣∣x−x0∣⟶+∞.\left|\frac{y-0}{x-x_0}\right|
=|x|\sqrt{\frac{|x+x_0|}{|x-x_0|}}\longrightarrow+\infty.Здесь использовано y2=x2(x02−x2)y^2=x^2(x_0^2-x^2), а x0≠0x_0\ne0. Значит, наклон секущих по модулю действительно неограниченно возрастает.

б) По правилу произведенияy′=x2+1−x(x−2)(x2+1)3/2=2x+1(x2+1)3/2,y'=\frac{x^2+1-x(x-2)}{(x^2+1)^{3/2}}=\frac{2x+1}{(x^2+1)^{3/2}},y′′=2(x2+1)−3x(2x+1)(x2+1)5/2=−4x2−3x+2(x2+1)5/2.y''=\frac{2(x^2+1)-3x(2x+1)}{(x^2+1)^{5/2}}
=\frac{-4x^2-3x+2}{(x^2+1)^{5/2}}.В точке минимума y(−1/2)=(−5/2)/(5/2)=−5/5=−5y(-1/2)=(-5/2)/(\sqrt5/2)=-5/\sqrt5=-\sqrt5. При x<0x<0 имеем x−2<−x2+1x-2<-\sqrt{x^2+1}, поскольку после возведения положительных величин 2−x2-x и x2+1\sqrt{x^2+1} в квадрат разность равна 3−4x>03-4x>0. Поэтому левая ветвь близка к асимптоте −1-1 снизу. Справа y<1y<1, что согласуется с возрастанием к пределу 11.
Демидович № 1485 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика