Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1483

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1483

Построить график функцииy=11+x−103x2+11−xy=\frac1{1+x}-\frac{10}{3x^2}+\frac1{1-x}
ПостроениеФункция чётная. Вертикальные асимптоты:
x=−1,0,1x=-1,0,1; горизонтальная асимптота: y=0y=0. Нули:
x=±104x=\pm\frac{\sqrt{10}}4. Точки перегиба:
(±12,−83)\left(\pm\frac1{\sqrt2},-\frac83\right).

Построение

Область определенияD=R∖{−1,0,1}D=\mathbb R\setminus\{-1,0,1\}Упростим формулу:y=21−x2−103x2==2(8x2−5)3x2(1−x2)\begin{aligned}
y&=\frac{2}{1-x^2}-\frac{10}{3x^2}=\\
&=\frac{2(8x^2-5)}{3x^2(1-x^2)}
\end{aligned}Функция чётная. Её нули равныx=±58=±104x=\pm\sqrt{\frac58}=\pm\frac{\sqrt{10}}4Функция положительна при104<∣x∣<1\frac{\sqrt{10}}4<|x|<1и отрицательна на остальных промежутках области определения.
Вертикальные асимптоты имеют уравнения x=−1x=-1, x=0x=0, x=1x=1.
Одностороннее поведение:lim⁡x→−1−y=−∞,lim⁡x→−1+y=+∞lim⁡x→0−y=−∞,lim⁡x→0+y=−∞lim⁡x→1−y=+∞,lim⁡x→1+y=−∞\begin{aligned}
&\lim_{x\to-1^-}y=-\infty,
&&\lim_{x\to-1^+}y=+\infty\\
&\lim_{x\to0^-}y=-\infty,
&&\lim_{x\to0^+}y=-\infty\\
&\lim_{x\to1^-}y=+\infty,
&&\lim_{x\to1^+}y=-\infty
\end{aligned}При x→±∞x\to\pm\infty функция стремится к нулю, поэтому y=0y=0 ---
горизонтальная асимптота.

Первая производная имеет видy′=4(8x4−10x2+5)3x3(1−x2)2y'=\frac{4(8x^4-10x^2+5)}{3x^3(1-x^2)^2}Квадратный трёхчлен 8u2−10u+58u^2-10u+5, где u=x2u=x^2, положителен,
поскольку его дискриминант равен −60-60. Поэтомуy′<0на (−∞,−1) и (−1,0)y′>0на (0,1) и (1,+∞)\begin{aligned}
&y'<0 &&\text{на }(-\infty,-1)\text{ и }(-1,0)\\
&y'>0 &&\text{на }(0,1)\text{ и }(1,+\infty)
\end{aligned}Следовательно, функция убывает на каждом промежутке области определения
слева от нуля и возрастает на каждом промежутке справа. Экстремумов нет.

Вторая производнаяy′′=4(2x2−1)(4x4−5x2+5)x4(1−x2)3y''=
\frac{4(2x^2-1)(4x^4-5x^2+5)}
{x^4(1-x^2)^3}Множитель 4x4−5x2+54x^4-5x^2+5 всегда положителен. Поэтому точки перегиба
определяются сменой знака множителя 2x2−12x^2-1. Следовательно,y′′>0при 12<∣x∣<1y′′<0при 0<∣x∣<12 и ∣x∣>1\begin{aligned}
&y''>0 &&\text{при }\frac1{\sqrt2}<|x|<1\\
&y''<0 &&\text{при }0<|x|<\frac1{\sqrt2}\text{ и }|x|>1
\end{aligned}Точки перегиба равны(−12,−83),(12,−83)\left(-\frac1{\sqrt2},-\frac83\right),
\qquad
\left(\frac1{\sqrt2},-\frac83\right)

Построение графика

По чётности ветви симметричны относительно оси
OyOy. На рисунке показаны четыре ветви, вертикальные асимптоты
x=±1x=\pm1, нули и обе точки перегиба. Асимптота x=0x=0 совпадает с
осью OyOy, поэтому второй пунктир поверх оси не проводится.график к задаче Демидовича № 1483

Ответ

Функция чётная. Вертикальные асимптоты:
x=−1,0,1x=-1,0,1; горизонтальная асимптота: y=0y=0. Нули:
x=±104x=\pm\frac{\sqrt{10}}4. Точки перегиба:
(±12,−83)\left(\pm\frac1{\sqrt2},-\frac83\right).

Проверка

Упрощение дробей даёт числитель 6x2−10(1−x2)=16x2−106x^2-10(1-x^2)=16x^2-10. Производные удобнее находить из y=2/(1−x2)−10/(3x2)y=2/(1-x^2)-10/(3x^2):y′=4x(1−x2)2+203x3=12x4+20(1−2x2+x4)3x3(1−x2)2=4(8x4−10x2+5)3x3(1−x2)2,y'=\frac{4x}{(1-x^2)^2}+\frac{20}{3x^3}
=\frac{12x^4+20(1-2x^2+x^4)}{3x^3(1-x^2)^2}
=\frac{4(8x^4-10x^2+5)}{3x^3(1-x^2)^2},y′′=4(1+3x2)(1−x2)3−20x4=4[x4(1+3x2)−5(1−x2)3]x4(1−x2)3.y''=\frac{4(1+3x^2)}{(1-x^2)^3}-\frac{20}{x^4}
=\frac{4[x^4(1+3x^2)-5(1-x^2)^3]}{x^4(1-x^2)^3}.При u=x2u=x^2 выражение в скобках равно 8u3−14u2+15u−5=(2u−1)(4u2−5u+5)8u^3-14u^2+15u-5=(2u-1)(4u^2-5u+5). Последний множитель положителен:4u2−5u+5=4(u−5/8)2+55/16>0.4u^2-5u+5=4(u-5/8)^2+55/16>0.Для ординат перегибов подставляем x2=1/2x^2=1/2: y=2/(1−1/2)−10/(3/2)=4−20/3=−8/3y=2/(1-1/2)-10/(3/2)=4-20/3=-8/3.
Демидович № 1483 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика