Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1483

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1483

Построить график функцииy=11+x−103x2+11−xy=\frac1{1+x}-\frac{10}{3x^2}+\frac1{1-x}
ПостроениеФункция чётная. Вертикальные асимптоты:
x=−1,0,1x=-1,0,1; горизонтальная асимптота: y=0y=0. Нули:
x=±104x=\pm\frac{\sqrt{10}}4. Точки перегиба:
(±12,−83)\left(\pm\frac1{\sqrt2},-\frac83\right).

Построение

Идея

Область определенияD=R∖{−1,0,1}D=\mathbb R\setminus\{-1,0,1\}Упростим формулу:y=21−x2−103x2==2(8x2−5)3x2(1−x2)\begin{aligned}
y&=\frac{2}{1-x^2}-\frac{10}{3x^2}=\\
&=\frac{2(8x^2-5)}{3x^2(1-x^2)}
\end{aligned}Функция чётная. Её нули равныx=±58=±104x=\pm\sqrt{\frac58}=\pm\frac{\sqrt{10}}4Функция положительна при104<∣x∣<1\frac{\sqrt{10}}4<|x|<1и отрицательна на остальных промежутках области определения.
  1. 1
    Вертикальные асимптоты имеют уравнения x=−1x=-1, x=0x=0, x=1x=1.
    Одностороннее поведение:lim⁡x→−1−y=−∞,lim⁡x→−1+y=+∞lim⁡x→0−y=−∞,lim⁡x→0+y=−∞lim⁡x→1−y=+∞,lim⁡x→1+y=−∞\begin{aligned}
    &\lim_{x\to-1^-}y=-\infty,
    &&\lim_{x\to-1^+}y=+\infty\\
    &\lim_{x\to0^-}y=-\infty,
    &&\lim_{x\to0^+}y=-\infty\\
    &\lim_{x\to1^-}y=+\infty,
    &&\lim_{x\to1^+}y=-\infty
    \end{aligned}    При x→±∞x\to\pm\infty функция стремится к нулю, поэтому y=0y=0 —
    горизонтальная асимптота.

    Первая производная имеет видy′=4(8x4−10x2+5)3x3(1−x2)2y'=\frac{4(8x^4-10x^2+5)}{3x^3(1-x^2)^2}Квадратный трёхчлен 8u2−10u+58u^2-10u+5, где u=x2u=x^2, положителен,
    поскольку его дискриминант равен −60-60. Поэтомуy′<0на (−∞,−1) и (−1,0)y′>0на (0,1) и (1,+∞)\begin{aligned}
    &y'<0 &&\text{на }(-\infty,-1)\text{ и }(-1,0)\\
    &y'>0 &&\text{на }(0,1)\text{ и }(1,+\infty)
    \end{aligned}    Следовательно, функция убывает на каждом промежутке области определения
    слева от нуля и возрастает на каждом промежутке справа. Экстремумов нет.

    Вторая производнаяy′′=4(2x2−1)(4x4−5x2+5)x4(1−x2)3y''=
    \frac{4(2x^2-1)(4x^4-5x^2+5)}
    {x^4(1-x^2)^3}    Множитель 4x4−5x2+54x^4-5x^2+5 всегда положителен. Поэтому точки перегиба
    определяются сменой знака множителя 2x2−12x^2-1. Следовательно,y′′>0при 12<∣x∣<1y′′<0при 0<∣x∣<12 и ∣x∣>1\begin{aligned}
    &y''>0 &&\text{при }\frac1{\sqrt2}<|x|<1\\
    &y''<0 &&\text{при }0<|x|<\frac1{\sqrt2}\text{ и }|x|>1
    \end{aligned}    Точки перегиба равны(−12,−83),(12,−83)\left(-\frac1{\sqrt2},-\frac83\right),
    \qquad
    \left(\frac1{\sqrt2},-\frac83\right)
  2. 2

    Построение графика

    По чётности ветви симметричны относительно оси
    OyOy. На рисунке показаны четыре ветви, вертикальные асимптоты
    x=±1x=\pm1, нули и обе точки перегиба. Асимптота x=0x=0 совпадает с
    осью OyOy, поэтому второй пунктир поверх оси не проводится.график к задаче Демидовича № 1483

Проверка

Ответ. Функция чётная. Вертикальные асимптоты:
x=−1,0,1x=-1,0,1; горизонтальная асимптота: y=0y=0. Нули:
x=±104x=\pm\frac{\sqrt{10}}4. Точки перегиба:
(±12,−83)\left(\pm\frac1{\sqrt2},-\frac83\right).