Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1481

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1481

Построить график функции

y=\frac{(x+1)^3}{(x-1)^2}

ПостроениеВертикальная асимптота

x=1

, наклонная асимптота

y=x+5

. Точка

(-1,0)

является стационарной точкой перегиба,
а

\left(5,\frac{27}{2}\right)

— точкой минимума.

Построение

Идея

Область определения

D=\mathbb R\setminus\{1\}

Функция обращается в нуль только при

x=-1

; этот нуль имеет третью
кратность. Кроме того,

y(0)=1

Так как знаменатель положителен, функция отрицательна при

x<-1

и
положительна при

x>-1

, кроме точки разрыва

x=1

1
В окрестности $x=1$ числитель стремится к $8$ , а знаменатель — к
нулю через положительные значения. Поэтому $\lim_{x\to1^-}y=+\infty,\qquad\lim_{x\to1^+}y=+\infty$ и $x=1$ является вертикальной асимптотой. Деление многочленов даёт $y=x+5+\frac{12x-4}{(x-1)^2}$ Следовательно, наклонная асимптота имеет уравнение $y=x+5$ Первая производная $y'=\frac{(x+1)^2(x-5)}{(x-1)^3}$ Функция возрастает на $(-\infty,1)$ , хотя $y'(-1)=0$ , убывает на
$(1,5)$ и снова возрастает на $(5,+\infty)$ . Поэтому единственный
экстремум — минимум $y(5)=\frac{27}{2}$ Вторая производная равна $y''=\frac{24(x+1)}{(x-1)^4}$ Она меняет знак при $x=-1$ . Значит, $(-1,0)$ — точка перегиба с
горизонтальной касательной. При $x<-1$ график выпуклый вниз, а при
$x>-1$ , с учётом разрыва при $x=1$ , — выпуклый вверх.
2
Построение графика
Левая ветвь монотонно проходит через стационарную
точку перегиба $(-1,0)$ и уходит к $+\infty$ при $x\to1^-$ .
Правая ветвь спускается от $+\infty$ к минимуму
$\left(5,\frac{27}{2}\right)$ , после чего возрастает, приближаясь к
наклонной асимптоте. $график к задаче Демидовича № 1481$

Проверка

Ответ. Вертикальная асимптота

x=1

, наклонная асимптота

y=x+5

. Точка

(-1,0)

является стационарной точкой перегиба,
а

\left(5,\frac{27}{2}\right)

— точкой минимума.