Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1481

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1481

Построить график функцииy=(x+1)3(x−1)2y=\frac{(x+1)^3}{(x-1)^2}
ПостроениеВертикальная асимптота x=1x=1, наклонная асимптота
y=x+5y=x+5. Точка (−1,0)(-1,0) является стационарной точкой перегиба,
а (5,272)\left(5,\frac{27}{2}\right) — точкой минимума.

Построение

Область определенияD=R∖{1}D=\mathbb R\setminus\{1\}Функция обращается в нуль только при x=−1x=-1; этот нуль имеет третью
кратность. Кроме того,y(0)=1y(0)=1Так как знаменатель положителен, функция отрицательна при x<−1x<-1 и
положительна при x>−1x>-1, кроме точки разрыва x=1x=1.
В окрестности x=1x=1 числитель стремится к 88, а знаменатель --- к
нулю через положительные значения. Поэтомуlim⁡x→1−y=+∞,lim⁡x→1+y=+∞\lim_{x\to1^-}y=+\infty,
\qquad
\lim_{x\to1^+}y=+\inftyи x=1x=1 является вертикальной асимптотой. Деление многочленов даётy=x+5+12x−4(x−1)2y=x+5+\frac{12x-4}{(x-1)^2}Следовательно, наклонная асимптота имеет уравнениеy=x+5y=x+5Первая производнаяy′=(x+1)2(x−5)(x−1)3y'=\frac{(x+1)^2(x-5)}{(x-1)^3}Функция возрастает на (−∞,1)(-\infty,1), хотя y′(−1)=0y'(-1)=0, убывает на
(1,5)(1,5) и снова возрастает на (5,+∞)(5,+\infty). Поэтому единственный
экстремум --- минимумy(5)=272y(5)=\frac{27}{2}Вторая производная равнаy′′=24(x+1)(x−1)4y''=\frac{24(x+1)}{(x-1)^4}Она меняет знак при x=−1x=-1. Значит, (−1,0)(-1,0) --- точка перегиба с
горизонтальной касательной. При x<−1x<-1 имеем y′′<0y''<0, поэтому график лежит ниже своих касательных. На каждом из интервалов (−1,1)(-1,1) и (1,+∞)(1,+\infty) имеем y′′>0y''>0, и график лежит выше своих касательных.

Построение графика

Левая ветвь монотонно проходит через стационарную
точку перегиба (−1,0)(-1,0) и уходит к +∞+\infty при x→1−x\to1^-.
Правая ветвь спускается от +∞+\infty к минимуму
(5,272)\left(5,\frac{27}{2}\right), после чего возрастает, приближаясь к
наклонной асимптоте.график к задаче Демидовича № 1481

Ответ

Вертикальная асимптота x=1x=1, наклонная асимптота
y=x+5y=x+5. Точка (−1,0)(-1,0) является стационарной точкой перегиба,
а (5,272)\left(5,\frac{27}{2}\right) --- точкой минимума.

Проверка

По правилу частногоy′=(x+1)2[3(x−1)−2(x+1)](x−1)3=(x+1)2(x−5)(x−1)3.y'=\frac{(x+1)^2[3(x-1)-2(x+1)]}{(x-1)^3}
=\frac{(x+1)^2(x-5)}{(x-1)^3}.Производная числителя этой дроби равна 3(x+1)(x−3)3(x+1)(x-3). Поэтомуy′′=3(x+1)[(x−3)(x−1)−(x+1)(x−5)](x−1)4=3(x+1)⋅8(x−1)4.y''=\frac{3(x+1)[(x-3)(x-1)-(x+1)(x-5)]}{(x-1)^4}
=\frac{3(x+1)\cdot8}{(x-1)^4}.Ордината минимума: y(5)=63/42=216/16=27/2y(5)=6^3/4^2=216/16=27/2. Минимум локальный на всей области определения; на правой ветви он является наименьшим значением. Наклонная асимптота проверяется умножением: (x+1)3=(x+5)(x−1)2+12x−4(x+1)^3=(x+5)(x-1)^2+12x-4.
Демидович № 1481 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика